Решения
Калькулятор Интегралов (Первообразной Функции)Калькулятор ПроизводныхАлгебраический КалькуляторКалькулятор МатрицДополнительные инструменты...
Графика
Линейный графикЭкспоненциальный графикКвадратичный графикГрафик синусаДополнительные инструменты...
Калькуляторы
Калькулятор ИМТКалькулятор сложных процентовКалькулятор процентовКалькулятор ускоренияДополнительные инструменты...
Геометрия
Калькулятор теоремы ПифагораКалькулятор Площади ОкружностиКалькулятор равнобедренного треугольникаКалькулятор треугольниковДополнительные инструменты...
AI Chat
Инструменты
БлокнотыГруппыШпаргалкиРабочие листыУпражнятьсяПодтвердить
ru
English
Español
Português
Français
Deutsch
Italiano
Русский
中文(简体)
한국어
日本語
Tiếng Việt
עברית
العربية
Популярное Тригонометрия >

2csc^2(x)=1+cos(x)

  • Пре Алгебра
  • Алгебра
  • Пре Исчисление
  • Исчисление
  • Функции
  • Линейная алгебра
  • Тригонометрия
  • Статистика
  • Химия
  • Экономика
  • Преобразования

Решение

2csc2(x)=1+cos(x)

Решение

Решениядляx∈Rнет
Шаги решения
2csc2(x)=1+cos(x)
Вычтите 1+cos(x) с обеих сторон2csc2(x)−1−cos(x)=0
Перепишите используя тригонометрические тождества
−1−cos(x)+2csc2(x)
Испльзуйте основное тригонометрическое тождество: csc(x)=sin(x)1​=−1−cos(x)+2(sin(x)1​)2
2(sin(x)1​)2=sin2(x)2​
2(sin(x)1​)2
(sin(x)1​)2=sin2(x)1​
(sin(x)1​)2
Примените правило возведения в степень: (ba​)c=bcac​=sin2(x)12​
Примените правило 1a=112=1=sin2(x)1​
=2⋅sin2(x)1​
Умножьте дроби: a⋅cb​=ca⋅b​=sin2(x)1⋅2​
Перемножьте числа: 1⋅2=2=sin2(x)2​
=−1−cos(x)+sin2(x)2​
Используйте основное тригонометрическое тождество (тождество Пифагора): cos2(x)+sin2(x)=1sin2(x)=1−cos2(x)=−1−cos(x)+1−cos2(x)2​
−1−cos(x)+1−cos2(x)2​=0
Решитe подстановкой
−1−cos(x)+1−cos2(x)2​=0
Допустим: cos(x)=u−1−u+1−u22​=0
−1−u+1−u22​=0:u≈−1.83928…
−1−u+1−u22​=0
Умножьте обе части на 1−u2
−1−u+1−u22​=0
Умножьте обе части на 1−u2−1⋅(1−u2)−u(1−u2)+1−u22​(1−u2)=0⋅(1−u2)
После упрощения получаем
−1⋅(1−u2)−u(1−u2)+1−u22​(1−u2)=0⋅(1−u2)
Упростите −1⋅(1−u2):−(1−u2)
−1⋅(1−u2)
Умножьте: 1⋅(1−u2)=(1−u2)=−(−u2+1)
Упростите 1−u22​(1−u2):2
1−u22​(1−u2)
Умножьте дроби: a⋅cb​=ca⋅b​=1−u22(1−u2)​
Отмените общий множитель: 1−u2=2
Упростите 0⋅(1−u2):0
0⋅(1−u2)
Примените правило 0⋅a=0=0
−(1−u2)−u(1−u2)+2=0
−(1−u2)−u(1−u2)+2=0
−(1−u2)−u(1−u2)+2=0
Решить −(1−u2)−u(1−u2)+2=0:u≈−1.83928…
−(1−u2)−u(1−u2)+2=0
Расширьте −(1−u2)−u(1−u2)+2:u3+u2−u+1
−(1−u2)−u(1−u2)+2
−(1−u2):−1+u2
−(1−u2)
Расставьте скобки=−(1)−(−u2)
Применение правил минус-плюс−(−a)=a,−(a)=−a=−1+u2
=−1+u2−u(1−u2)+2
Расширить −u(1−u2):−u+u3
−u(1−u2)
Примените распределительный закон: a(b−c)=ab−aca=−u,b=1,c=u2=−u⋅1−(−u)u2
Применение правил минус-плюс−(−a)=a=−1⋅u+u2u
Упростить −1⋅u+u2u:−u+u3
−1⋅u+u2u
1⋅u=u
1⋅u
Умножьте: 1⋅u=u=u
u2u=u3
u2u
Примените правило возведения в степень: ab⋅ac=ab+cu2u=u2+1=u2+1
Добавьте числа: 2+1=3=u3
=−u+u3
=−u+u3
=−1+u2−u+u3+2
Упростить −1+u2−u+u3+2:u3+u2−u+1
−1+u2−u+u3+2
Сгруппируйте похожие слагаемые=u3+u2−u−1+2
Прибавьте/Вычтите числа: −1+2=1=u3+u2−u+1
=u3+u2−u+1
u3+u2−u+1=0
Найдите одно решение для u3+u2−u+1=0 с использованием метода Ньютона-Рафсона:u≈−1.83928…
u3+u2−u+1=0
Определение приближения Ньютона-Рафсона
f(u)=u3+u2−u+1
Найдите f′(u):3u2+2u−1
dud​(u3+u2−u+1)
Производная суммы: (f±g)′=f′±g′=dud​(u3)+dud​(u2)−dudu​+dud​(1)
dud​(u3)=3u2
dud​(u3)
Производная степенной функции: dxd​(xa)=a⋅xa−1=3u3−1
После упрощения получаем=3u2
dud​(u2)=2u
dud​(u2)
Производная степенной функции: dxd​(xa)=a⋅xa−1=2u2−1
После упрощения получаем=2u
dudu​=1
dudu​
Воспользуемся таблицей производных элементарных функций : dudu​=1=1
dud​(1)=0
dud​(1)
Производная постоянной: dxd​(a)=0=0
=3u2+2u−1+0
После упрощения получаем=3u2+2u−1
Пусть u0​=−4Вычислите un+1​ до момента Δun+1​<0.000001
u1​=−2.89743…:Δu1​=1.10256…
f(u0​)=(−4)3+(−4)2−(−4)+1=−43f′(u0​)=3(−4)2+2(−4)−1=39u1​=−2.89743…
Δu1​=∣−2.89743…−(−4)∣=1.10256…Δu1​=1.10256…
u2​=−2.24319…:Δu2​=0.65423…
f(u1​)=(−2.89743…)3+(−2.89743…)2−(−2.89743…)+1=−12.03179…f′(u1​)=3(−2.89743…)2+2(−2.89743…)−1=18.39053…u2​=−2.24319…
Δu2​=∣−2.24319…−(−2.89743…)∣=0.65423…Δu2​=0.65423…
u3​=−1.92970…:Δu3​=0.31349…
f(u2​)=(−2.24319…)3+(−2.24319…)2−(−2.24319…)+1=−3.01249…f′(u2​)=3(−2.24319…)2+2(−2.24319…)−1=9.60940…u3​=−1.92970…
Δu3​=∣−1.92970…−(−2.24319…)∣=0.31349…Δu3​=0.31349…
u4​=−1.84537…:Δu4​=0.08433…
f(u3​)=(−1.92970…)3+(−1.92970…)2−(−1.92970…)+1=−0.53228…f′(u3​)=3(−1.92970…)2+2(−1.92970…)−1=6.31186…u4​=−1.84537…
Δu4​=∣−1.84537…−(−1.92970…)∣=0.08433…Δu4​=0.08433…
u5​=−1.83931…:Δu5​=0.00605…
f(u4​)=(−1.84537…)3+(−1.84537…)2−(−1.84537…)+1=−0.03345…f′(u4​)=3(−1.84537…)2+2(−1.84537…)−1=5.52545…u5​=−1.83931…
Δu5​=∣−1.83931…−(−1.84537…)∣=0.00605…Δu5​=0.00605…
u6​=−1.83928…:Δu6​=0.00003…
f(u5​)=(−1.83931…)3+(−1.83931…)2−(−1.83931…)+1=−0.00016…f′(u5​)=3(−1.83931…)2+2(−1.83931…)−1=5.47062…u6​=−1.83928…
Δu6​=∣−1.83928…−(−1.83931…)∣=0.00003…Δu6​=0.00003…
u7​=−1.83928…:Δu7​=7.61448E−10
f(u6​)=(−1.83928…)3+(−1.83928…)2−(−1.83928…)+1=−4.16539E−9f′(u6​)=3(−1.83928…)2+2(−1.83928…)−1=5.47035…u7​=−1.83928…
Δu7​=∣−1.83928…−(−1.83928…)∣=7.61448E−10Δu7​=7.61448E−10
u≈−1.83928…
Примените деление столбиком:u+1.83928…u3+u2−u+1​=u2−0.83928…u+0.54368…
u2−0.83928…u+0.54368…≈0
Найдите одно решение для u2−0.83928…u+0.54368…=0 с использованием метода Ньютона-Рафсона:Решения для u∈Rнет
u2−0.83928…u+0.54368…=0
Определение приближения Ньютона-Рафсона
f(u)=u2−0.83928…u+0.54368…
Найдите f′(u):2u−0.83928…
dud​(u2−0.83928…u+0.54368…)
Производная суммы: (f±g)′=f′±g′=dud​(u2)−dud​(0.83928…u)+dud​(0.54368…)
dud​(u2)=2u
dud​(u2)
Производная степенной функции: dxd​(xa)=a⋅xa−1=2u2−1
После упрощения получаем=2u
dud​(0.83928…u)=0.83928…
dud​(0.83928…u)
Производная переменной и множителя: (a⋅f)′=a⋅f′=0.83928…dudu​
Воспользуемся таблицей производных элементарных функций : dudu​=1=0.83928…⋅1
После упрощения получаем=0.83928…
dud​(0.54368…)=0
dud​(0.54368…)
Производная постоянной: dxd​(a)=0=0
=2u−0.83928…+0
После упрощения получаем=2u−0.83928…
Пусть u0​=1Вычислите un+1​ до момента Δun+1​<0.000001
u1​=0.39312…:Δu1​=0.60687…
f(u0​)=12−0.83928…⋅1+0.54368…=0.70440…f′(u0​)=2⋅1−0.83928…=1.16071…u1​=0.39312…
Δu1​=∣0.39312…−1∣=0.60687…Δu1​=0.60687…
u2​=7.33847…:Δu2​=6.94534…
f(u1​)=0.39312…2−0.83928…⋅0.39312…+0.54368…=0.36829…f′(u1​)=2⋅0.39312…−0.83928…=−0.05302…u2​=7.33847…
Δu2​=∣7.33847…−0.39312…∣=6.94534…Δu2​=6.94534…
u3​=3.85249…:Δu3​=3.48597…
f(u2​)=7.33847…2−0.83928…⋅7.33847…+0.54368…=48.23776…f′(u2​)=2⋅7.33847…−0.83928…=13.83765…u3​=3.85249…
Δu3​=∣3.85249…−7.33847…∣=3.48597…Δu3​=3.48597…
u4​=2.08252…:Δu4​=1.76996…
f(u3​)=3.85249…2−0.83928…⋅3.85249…+0.54368…=12.15204…f′(u3​)=2⋅3.85249…−0.83928…=6.86569…u4​=2.08252…
Δu4​=∣2.08252…−3.85249…∣=1.76996…Δu4​=1.76996…
u5​=1.14055…:Δu5​=0.94196…
f(u4​)=2.08252…2−0.83928…⋅2.08252…+0.54368…=3.13277…f′(u4​)=2⋅2.08252…−0.83928…=3.32576…u5​=1.14055…
Δu5​=∣1.14055…−2.08252…∣=0.94196…Δu5​=0.94196…
u6​=0.52515…:Δu6​=0.61540…
f(u5​)=1.14055…2−0.83928…⋅1.14055…+0.54368…=0.88730…f′(u5​)=2⋅1.14055…−0.83928…=1.44183…u6​=0.52515…
Δu6​=∣0.52515…−1.14055…∣=0.61540…Δu6​=0.61540…
u7​=−1.26953…:Δu7​=1.79468…
f(u6​)=0.52515…2−0.83928…⋅0.52515…+0.54368…=0.37872…f′(u6​)=2⋅0.52515…−0.83928…=0.21102…u7​=−1.26953…
Δu7​=∣−1.26953…−0.52515…∣=1.79468…Δu7​=1.79468…
u8​=−0.31613…:Δu8​=0.95339…
f(u7​)=(−1.26953…)2−0.83928…(−1.26953…)+0.54368…=3.22089…f′(u7​)=2(−1.26953…)−0.83928…=−3.37834…u8​=−0.31613…
Δu8​=∣−0.31613…−(−1.26953…)∣=0.95339…Δu8​=0.95339…
u9​=0.30154…:Δu9​=0.61768…
f(u8​)=(−0.31613…)2−0.83928…(−0.31613…)+0.54368…=0.90896…f′(u8​)=2(−0.31613…)−0.83928…=−1.47156…u9​=0.30154…
Δu9​=∣0.30154…−(−0.31613…)∣=0.61768…Δu9​=0.61768…
u10​=1.91692…:Δu10​=1.61537…
f(u9​)=0.30154…2−0.83928…⋅0.30154…+0.54368…=0.38153…f′(u9​)=2⋅0.30154…−0.83928…=−0.23619…u10​=1.91692…
Δu10​=∣1.91692…−0.30154…∣=1.61537…Δu10​=1.61537…
u11​=1.04552…:Δu11​=0.87139…
f(u10​)=1.91692…2−0.83928…⋅1.91692…+0.54368…=2.60942…f′(u10​)=2⋅1.91692…−0.83928…=2.99455…u11​=1.04552…
Δu11​=∣1.04552…−1.91692…∣=0.87139…Δu11​=0.87139…
u12​=0.43893…:Δu12​=0.60659…
f(u11​)=1.04552…2−0.83928…⋅1.04552…+0.54368…=0.75932…f′(u11​)=2⋅1.04552…−0.83928…=1.25177…u12​=0.43893…
Δu12​=∣0.43893…−1.04552…∣=0.60659…Δu12​=0.60659…
u13​=−9.09911…:Δu13​=9.53804…
f(u12​)=0.43893…2−0.83928…⋅0.43893…+0.54368…=0.36796…f′(u12​)=2⋅0.43893…−0.83928…=0.03857…u13​=−9.09911…
Δu13​=∣−9.09911…−0.43893…∣=9.53804…Δu13​=9.53804…
Невозможно найти решение
Решениеu≈−1.83928…
u≈−1.83928…
Проверьте решения
Найти неопределенные (сингулярные) точки:u=1,u=−1
Возьмите знаменатель(и) −1−u+1−u22​ и сравните с нулем
Решить 1−u2=0:u=1,u=−1
1−u2=0
Переместите 1вправо
1−u2=0
Вычтите 1 с обеих сторон1−u2−1=0−1
После упрощения получаем−u2=−1
−u2=−1
Разделите обе стороны на −1
−u2=−1
Разделите обе стороны на −1−1−u2​=−1−1​
После упрощения получаемu2=1
u2=1
Для x2=f(a) решениями являются x=f(a)​,−f(a)​
u=1​,u=−1​
1​=1
1​
Примените правило радикалов: 1​=1=1
−1​=−1
−1​
Примените правило радикалов: 1​=11​=1=−1
u=1,u=−1
Следующие точки не определеныu=1,u=−1
Объедините неопределенные точки с решениями:
u≈−1.83928…
Делаем обратную замену u=cos(x)cos(x)≈−1.83928…
cos(x)≈−1.83928…
cos(x)=−1.83928…:Не имеет решения
cos(x)=−1.83928…
−1≤cos(x)≤1Неимеетрешения
Объедините все решенияРешениядляx∈Rнет

График

Sorry, your browser does not support this application
Просмотр интерактивного графика

Популярные примеры

6arccos(5x)=5pi6arccos(5x)=5πcos(2θ)=-1/2 ,0<= θ<= 2picos(2θ)=−21​,0≤θ≤2πsin(2x)= 2/5sin(2x)=52​sin(2x)+cos(x)=0,0<= x<= 2pisin(2x)+cos(x)=0,0≤x≤2πcos(θ)=-0.5cos(θ)=−0.5
Инструменты для обученияИИ Решатель ЗадачAI ChatРабочие листыУпражнятьсяШпаргалкиКалькуляторыГрафический калькуляторКалькулятор по ГеометрииПроверить решение
ПриложенияПриложение Symbolab (Android)Графический калькулятор (Android)Упражняться (Android)Приложение Symbolab (iOS)Графический калькулятор (iOS)Упражняться (iOS)Расширение для Chrome
КомпанияО SymbolabБлогПомощь
ЮридическийКонфиденциальностьService TermsПолитика использованияНастройки файлов cookieНе продавать и не передавать мои личные данныеАвторское право, Правила сообщества, Структуры данных и алгоритмы (DSA) & другие Юридические ресурсыЮридический центр Learneo
Соцсети
Symbolab, a Learneo, Inc. business
© Learneo, Inc. 2024