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Beliebt Trigonometrie >

cos(3x)=-sin(x+pi/6)

Lösung

cos (3 x) = - sin (x + \frac{π}{6})

Lösung

x = \frac{π ( 3 n + 1 )}{3}, x = - \frac{π ( 3 n + 1 )}{6}

Grad

x = 6 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = - 3 0^{\circ} - 9 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos (3 x) = - sin (x + \frac{π}{6})

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (3 x) = - sin (x + \frac{π}{6})

Verwende die folgenden Identitäten:

- sin (x) = sin (- x)

cos (3 x) = sin (- (x + \frac{π}{6}))

Verwende die folgenden Identitäten:

cos (x) = sin (\frac{π}{2} - x)

cos (3 x) = sin (\frac{π}{2} - 3 x)

cos (3 x) = sin (\frac{π}{2} - 3 x)

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (3 x) = sin (\frac{π}{2} - 3 x)

sin (x) = sin (y) \Rightarrow x = y + 2 π n, x = π - y + 2 π n

- (x + \frac{π}{6}) = \frac{π}{2} - 3 x + 2 πn, - (x + \frac{π}{6}) = π - (\frac{π}{2} - 3 x) + 2 πn

- (x + \frac{π}{6}) = \frac{π}{2} - 3 x + 2 πn, - (x + \frac{π}{6}) = π - (\frac{π}{2} - 3 x) + 2 πn

- (x + \frac{π}{6}) = \frac{π}{2} - 3 x + 2 πn : x = \frac{π ( 3 n + 1 )}{3}

- (x + \frac{π}{6}) = \frac{π}{2} - 3 x + 2 πn

Schreibe

- (x + \frac{π}{6})

um:

- x - \frac{π}{6}

- (x + \frac{π}{6})

Setze Klammern

= - (x) - (\frac{π}{6})

Wende Minus-Plus Regeln an

+ (- a) = - a

= - x - \frac{π}{6}

- x - \frac{π}{6} = \frac{π}{2} - 3 x + 2 πn

Verschiebe

\frac{π}{6}

auf die rechte Seite

- x - \frac{π}{6} = \frac{π}{2} - 3 x + 2 πn

Füge

\frac{π}{6}

zu beiden Seiten hinzu

- x - \frac{π}{6} + \frac{π}{6} = \frac{π}{2} - 3 x + 2 πn + \frac{π}{6}

Vereinfache

- x - \frac{π}{6} + \frac{π}{6} = \frac{π}{2} - 3 x + 2 πn + \frac{π}{6}

Vereinfache

- x - \frac{π}{6} + \frac{π}{6} : - x

- x - \frac{π}{6} + \frac{π}{6}

Addiere gleiche Elemente:

- \frac{π}{6} + \frac{π}{6} = 0

= - x

Vereinfache

\frac{π}{2} - 3 x + 2 πn + \frac{π}{6} : - 3 x + 2 πn + \frac{2 π}{3}

\frac{π}{2} - 3 x + 2 πn + \frac{π}{6}

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 3 x + 2 πn + \frac{π}{2} + \frac{π}{6}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

2, 6 : 6

2, 6

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

2 : 2

2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 2

Primfaktorzerlegung von

6 : 2 \cdot 3

6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 3

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

2

oder

6

vorkommt

= 2 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= 6

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

6

Für

\frac{π}{2} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

3

\frac{π}{2} = \frac{π 3}{2 \cdot 3} = \frac{π 3}{6}

= \frac{π 3}{6} + \frac{π}{6}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 3 + π}{6}

Addiere gleiche Elemente:

3 π + π = 4 π

= \frac{4 π}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - 3 x + 2 πn + \frac{2 π}{3}

- x = - 3 x + 2 πn + \frac{2 π}{3}

- x = - 3 x + 2 πn + \frac{2 π}{3}

- x = - 3 x + 2 πn + \frac{2 π}{3}

Verschiebe

3 x

auf die linke Seite

- x = - 3 x + 2 πn + \frac{2 π}{3}

Füge

3 x

zu beiden Seiten hinzu

- x + 3 x = - 3 x + 2 πn + \frac{2 π}{3} + 3 x

Vereinfache

2 x = 2 πn + \frac{2 π}{3}

2 x = 2 πn + \frac{2 π}{3}

Teile beide Seiten durch

2

2 x = 2 πn + \frac{2 π}{3}

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} = \frac{2 πn}{2} + \frac{\frac{2 π}{3}}{2}

Vereinfache

\frac{2 x}{2} = \frac{2 πn}{2} + \frac{\frac{2 π}{3}}{2}

Vereinfache

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

Vereinfache

\frac{2 πn}{2} + \frac{\frac{2 π}{3}}{2} : \frac{π ( 3 n + 1 )}{3}

\frac{2 πn}{2} + \frac{\frac{2 π}{3}}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 πn + \frac{2 π}{3}}{2}

Füge

2 πn + \frac{2 π}{3}

zusammen:

\frac{6 πn + 2 π}{3}

2 πn + \frac{2 π}{3}

Wandle das Element in einen Bruch um:

2 πn = \frac{2 πn 3}{3}

= \frac{2 πn \cdot 3}{3} + \frac{2 π}{3}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 πn \cdot 3 + 2 π}{3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{6 πn + 2 π}{3}

= \frac{\frac{6 πn + 2 π}{3}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{6 πn + 2 π}{3 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 2 = 6

= \frac{6 πn + 2 π}{6}

Faktorisiere

6 πn + 2 π : 2 π (3 n + 1)

6 πn + 2 π

Schreibe um

= 3 \cdot 2 πn + 1 \cdot 2 π

Klammere gleiche Terme aus

2 π

= 2 π (3 n + 1)

= \frac{2 π ( 3 n + 1 )}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{π ( 3 n + 1 )}{3}

x = \frac{π ( 3 n + 1 )}{3}

x = \frac{π ( 3 n + 1 )}{3}

x = \frac{π ( 3 n + 1 )}{3}

- (x + \frac{π}{6}) = π - (\frac{π}{2} - 3 x) + 2 πn : x = - \frac{π ( 3 n + 1 )}{6}

- (x + \frac{π}{6}) = π - (\frac{π}{2} - 3 x) + 2 πn

Schreibe

- (x + \frac{π}{6})

um:

- x - \frac{π}{6}

- (x + \frac{π}{6})

Setze Klammern

= - (x) - (\frac{π}{6})

Wende Minus-Plus Regeln an

+ (- a) = - a

= - x - \frac{π}{6}

Schreibe

π - (\frac{π}{2} - 3 x) + 2 πn

um:

π - \frac{π}{2} + 3 x + 2 πn

π - (\frac{π}{2} - 3 x) + 2 πn

- (\frac{π}{2} - 3 x) : - \frac{π}{2} + 3 x

- (\frac{π}{2} - 3 x)

Setze Klammern

= - (\frac{π}{2}) - (- 3 x)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - \frac{π}{2} + 3 x

= π - \frac{π}{2} + 3 x + 2 πn

- x - \frac{π}{6} = π - \frac{π}{2} + 3 x + 2 πn

Verschiebe

\frac{π}{6}

auf die rechte Seite

- x - \frac{π}{6} = π - \frac{π}{2} + 3 x + 2 πn

Füge

\frac{π}{6}

zu beiden Seiten hinzu

- x - \frac{π}{6} + \frac{π}{6} = π - \frac{π}{2} + 3 x + 2 πn + \frac{π}{6}

Vereinfache

- x - \frac{π}{6} + \frac{π}{6} = π - \frac{π}{2} + 3 x + 2 πn + \frac{π}{6}

Vereinfache

- x - \frac{π}{6} + \frac{π}{6} : - x

- x - \frac{π}{6} + \frac{π}{6}

Addiere gleiche Elemente:

- \frac{π}{6} + \frac{π}{6} = 0

= - x

Vereinfache

π - \frac{π}{2} + 3 x + 2 πn + \frac{π}{6} : 3 x + π + 2 πn - \frac{π}{3}

π - \frac{π}{2} + 3 x + 2 πn + \frac{π}{6}

Fasse gleiche Terme zusammen

= 3 x + π + 2 πn - \frac{π}{2} + \frac{π}{6}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

2, 6 : 6

2, 6

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

2 : 2

2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 2

Primfaktorzerlegung von

6 : 2 \cdot 3

6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 3

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

2

oder

6

vorkommt

= 2 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= 6

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

6

Für

\frac{π}{2} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

3

\frac{π}{2} = \frac{π 3}{2 \cdot 3} = \frac{π 3}{6}

= - \frac{π 3}{6} + \frac{π}{6}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 3 + π}{6}

Addiere gleiche Elemente:

- 3 π + π = - 2 π

= \frac{- 2 π}{6}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 π}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 3 x + π + 2 πn - \frac{π}{3}

- x = 3 x + π + 2 πn - \frac{π}{3}

- x = 3 x + π + 2 πn - \frac{π}{3}

- x = 3 x + π + 2 πn - \frac{π}{3}

Verschiebe

3 x

auf die linke Seite

- x = 3 x + π + 2 πn - \frac{π}{3}

Subtrahiere

3 x

von beiden Seiten

- x - 3 x = 3 x + π + 2 πn - \frac{π}{3} - 3 x

Vereinfache

- 4 x = π + 2 πn - \frac{π}{3}

- 4 x = π + 2 πn - \frac{π}{3}

Teile beide Seiten durch

- 4

- 4 x = π + 2 πn - \frac{π}{3}

Teile beide Seiten durch

- 4

\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{π}{- 4} + \frac{2 πn}{- 4} - \frac{\frac{π}{3}}{- 4}

Vereinfache

\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{π}{- 4} + \frac{2 πn}{- 4} - \frac{\frac{π}{3}}{- 4}

Vereinfache

\frac{- 4 x}{- 4} : x

\frac{- 4 x}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{4 x}{4}

Teile die Zahlen:

\frac{4}{4} = 1

= x

Vereinfache

\frac{π}{- 4} + \frac{2 πn}{- 4} - \frac{\frac{π}{3}}{- 4} : - \frac{π ( 3 n + 1 )}{6}

\frac{π}{- 4} + \frac{2 πn}{- 4} - \frac{\frac{π}{3}}{- 4}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π + 2 πn - \frac{π}{3}}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{π + 2 πn - \frac{π}{3}}{4}

Füge

π + 2 πn - \frac{π}{3}

zusammen:

\frac{2 π + 6 πn}{3}

π + 2 πn - \frac{π}{3}

Wandle das Element in einen Bruch um:

π = \frac{π 3}{3}, 2 πn = \frac{2 πn 3}{3}

= \frac{π 3}{3} + \frac{2 πn \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 3 + 2 πn \cdot 3 - π}{3}

π 3 + 2 πn \cdot 3 - π = 2 π + 6 πn

π 3 + 2 πn \cdot 3 - π

Addiere gleiche Elemente:

3 π - π = 2 π

= 2 π + 2 \cdot 3 πn

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= 2 π + 6 πn

= \frac{2 π + 6 πn}{3}

= - \frac{\frac{2 π + 6 πn}{3}}{4}

Vereinfache

\frac{\frac{2 π + 6 πn}{3}}{4} : \frac{2 π + 6 πn}{12}

\frac{\frac{2 π + 6 πn}{3}}{4}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{2 π + 6 πn}{3 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 4 = 12

= \frac{2 π + 6 πn}{12}

= - \frac{2 π + 6 πn}{12}

Streiche

\frac{2 π + 6 πn}{12} : \frac{π ( 3 n + 1 )}{6}

\frac{2 π + 6 πn}{12}

Faktorisiere

2 π + 6 πn : 2 π (1 + 3 n)

2 π + 6 πn

Schreibe um

= 1 \cdot 2 π + 3 \cdot 2 πn

Klammere gleiche Terme aus

2 π

= 2 π (1 + 3 n)

= \frac{2 π ( 1 + 3 n )}{12}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{π ( 3 n + 1 )}{6}

= - \frac{π ( 3 n + 1 )}{6}

x = - \frac{π ( 3 n + 1 )}{6}

x = - \frac{π ( 3 n + 1 )}{6}

x = - \frac{π ( 3 n + 1 )}{6}

x = \frac{π ( 3 n + 1 )}{3}, x = - \frac{π ( 3 n + 1 )}{6}

x = \frac{π ( 3 n + 1 )}{3}, x = - \frac{π ( 3 n + 1 )}{6}

Graph

Beliebte Beispiele

sin(θ)= 7/10

sin (θ) = \frac{7}{10}

tan(5x)=1

tan (5 x) = 1

sec(5x)=2

sec (5 x) = 2

5sin(θ)-1=3sin(θ)

5 sin (θ) - 1 = 3 sin (θ)

2cos^2(w)-cos(w)-1=0

2 cos^{2} (w) - cos (w) - 1 = 0