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Beliebt Trigonometrie >

cos(2θ)-cos(θ)=2

Lösung

cos (2 θ) - cos (θ) = 2

Lösung

θ = π + 2 πn

Grad

θ = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos (2 θ) - cos (θ) = 2

Subtrahiere

2

von beiden Seiten

cos (2 θ) - cos (θ) - 2 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 2 + cos (2 θ) - cos (θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= - 2 + 2 cos^{2} (θ) - 1 - cos (θ)

Vereinfache

- 2 + 2 cos^{2} (θ) - 1 - cos (θ) : 2 cos^{2} (θ) - cos (θ) - 3

- 2 + 2 cos^{2} (θ) - 1 - cos (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 cos^{2} (θ) - cos (θ) - 2 - 1

Subtrahiere die Zahlen:

- 2 - 1 = - 3

= 2 cos^{2} (θ) - cos (θ) - 3

= 2 cos^{2} (θ) - cos (θ) - 3

- 3 - cos (θ) + 2 cos^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

- 3 - cos (θ) + 2 cos^{2} (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

- 3 - u + 2 u^{2} = 0

- 3 - u + 2 u^{2} = 0 : u = \frac{3}{2}, u = - 1

- 3 - u + 2 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} - u - 3 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

2 u^{2} - u - 3 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 2, b = - 1, c = - 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 3 )}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 3 )}{2 \cdot 2}

(- 1)^{2} - 4 \cdot 2 (- 3) = 5

(- 1)^{2} - 4 \cdot 2 (- 3)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 3

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 2 \cdot 3 = 24

4 \cdot 2 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 3 = 24

= 24

= 1 + 24

Addiere die Zahlen:

1 + 24 = 25

= 25

Faktorisiere die Zahl:

25 = 5^{2}

= 5^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

5^{2} = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 5}{2 \cdot 2}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 5}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 5}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 1 ) + 5}{2 \cdot 2} : \frac{3}{2}

\frac{- ( - 1 ) + 5}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 + 5}{2 \cdot 2}

Addiere die Zahlen:

1 + 5 = 6

= \frac{6}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{6}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{3}{2}

u = \frac{- ( - 1 ) - 5}{2 \cdot 2} : - 1

\frac{- ( - 1 ) - 5}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 - 5}{2 \cdot 2}

Subtrahiere die Zahlen:

1 - 5 = - 4

= \frac{- 4}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 4}{4}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{4}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= - 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{3}{2}, u = - 1

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = \frac{3}{2}, cos (θ) = - 1

cos (θ) = \frac{3}{2}, cos (θ) = - 1

cos (θ) = \frac{3}{2} :

Keine Lösung

cos (θ) = \frac{3}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (θ) = - 1 : θ = π + 2 πn

cos (θ) = - 1

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = - 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = π + 2 πn

θ = π + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = π + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

5sin(2θ)-2sin(θ)=0

5 sin (2 θ) - 2 sin (θ) = 0

2cos(3x)=sqrt(3)

2 cos (3 x) = 3

sqrt(2)*sin^2(x)+cos(x)=0

2 \cdot sin^{2} (x) + cos (x) = 0

cot(x)=-7.77

cot (x) = - 7.77

tan(θ)= 5/10

tan (θ) = \frac{5}{10}