English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Beliebt Trigonometrie >

2sin(x)=1-2cos(x)

Lösung

2 sin (x) = 1 - 2 cos (x)

Lösung

x = 1.99482 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.42403 \dots + 2 πn

Grad

x = 114.29518 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 335.70481 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 sin (x) = 1 - 2 cos (x)

Quadriere beide Seiten

(2 sin (x))^{2} = (1 - 2 cos (x))^{2}

Subtrahiere

(1 - 2 cos (x))^{2}

von beiden Seiten

4 sin^{2} (x) - 1 + 4 cos (x) - 4 cos^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 + 4 cos (x) - 4 cos^{2} (x) + 4 sin^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 1 + 4 cos (x) - 4 cos^{2} (x) + 4 (1 - cos^{2} (x))

Vereinfache

- 1 + 4 cos (x) - 4 cos^{2} (x) + 4 (1 - cos^{2} (x)) : 4 cos (x) - 8 cos^{2} (x) + 3

- 1 + 4 cos (x) - 4 cos^{2} (x) + 4 (1 - cos^{2} (x))

Multipliziere aus

4 (1 - cos^{2} (x)) : 4 - 4 cos^{2} (x)

4 (1 - cos^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 4 \cdot 1 - 4 cos^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 cos^{2} (x)

= - 1 + 4 cos (x) - 4 cos^{2} (x) + 4 - 4 cos^{2} (x)

Vereinfache

- 1 + 4 cos (x) - 4 cos^{2} (x) + 4 - 4 cos^{2} (x) : 4 cos (x) - 8 cos^{2} (x) + 3

- 1 + 4 cos (x) - 4 cos^{2} (x) + 4 - 4 cos^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 4 cos (x) - 4 cos^{2} (x) - 4 cos^{2} (x) - 1 + 4

Addiere gleiche Elemente:

- 4 cos^{2} (x) - 4 cos^{2} (x) = - 8 cos^{2} (x)

= 4 cos (x) - 8 cos^{2} (x) - 1 + 4

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 1 + 4 = 3

= 4 cos (x) - 8 cos^{2} (x) + 3

= 4 cos (x) - 8 cos^{2} (x) + 3

= 4 cos (x) - 8 cos^{2} (x) + 3

3 + 4 cos (x) - 8 cos^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

3 + 4 cos (x) - 8 cos^{2} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

3 + 4 u - 8 u^{2} = 0

3 + 4 u - 8 u^{2} = 0 : u = - \frac{- 1 + 7}{4}, u = \frac{1 + 7}{4}

3 + 4 u - 8 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 8 u^{2} + 4 u + 3 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 8 u^{2} + 4 u + 3 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 8, b = 4, c = 3

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 ( - 8 ) \cdot 3}{2 ( - 8 )}

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 ( - 8 ) \cdot 3}{2 ( - 8 )}

4^{2} - 4 (- 8) \cdot 3 = 47

4^{2} - 4 (- 8) \cdot 3

Wende Regel an

- (- a) = a

= 4^{2} + 4 \cdot 8 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 8 \cdot 3 = 96

= 4^{2} + 96

4^{2} = 16

= 16 + 96

Addiere die Zahlen:

16 + 96 = 112

= 112

Primfaktorzerlegung von

112 : 2^{4} \cdot 7

112

112

ist durch

2112 = 56 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 56

56

ist durch

256 = 28 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 28

28

ist durch

228 = 14 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 14

14

ist durch

214 = 7 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7

2, 7

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7

= 2^{4} \cdot 7

= 2^{4} \cdot 7

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 7 2^{4}

Wende Radikal Regel an:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 7

Fasse zusammen

= 47

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 7}{2 ( - 8 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 4 + 4 7}{2 ( - 8 )}, u_{2} = \frac{- 4 - 4 7}{2 ( - 8 )}

u = \frac{- 4 + 4 7}{2 ( - 8 )} : - \frac{- 1 + 7}{4}

\frac{- 4 + 4 7}{2 ( - 8 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 4 + 4 7}{- 2 \cdot 8}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{- 4 + 4 7}{- 16}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 4 + 4 7}{16}

Streiche

\frac{- 4 + 4 7}{16} : \frac{7 - 1}{4}

\frac{- 4 + 4 7}{16}

Faktorisiere

- 4 + 47 : 4 (- 1 + 7)

- 4 + 47

Schreibe um

= - 4 \cdot 1 + 47

Klammere gleiche Terme aus

4

= 4 (- 1 + 7)

= \frac{4 ( - 1 + 7 )}{16}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{- 1 + 7}{4}

= - \frac{7 - 1}{4}

= - \frac{- 1 + 7}{4}

u = \frac{- 4 - 4 7}{2 ( - 8 )} : \frac{1 + 7}{4}

\frac{- 4 - 4 7}{2 ( - 8 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 4 - 4 7}{- 2 \cdot 8}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{- 4 - 4 7}{- 16}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 4 - 47 = - (4 + 47)

= \frac{4 + 4 7}{16}

Faktorisiere

4 + 47 : 4 (1 + 7)

4 + 47

Schreibe um

= 4 \cdot 1 + 47

Klammere gleiche Terme aus

4

= 4 (1 + 7)

= \frac{4 ( 1 + 7 )}{16}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{1 + 7}{4}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{- 1 + 7}{4}, u = \frac{1 + 7}{4}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - \frac{- 1 + 7}{4}, cos (x) = \frac{1 + 7}{4}

cos (x) = - \frac{- 1 + 7}{4}, cos (x) = \frac{1 + 7}{4}

cos (x) = - \frac{- 1 + 7}{4} : x = arccos (- \frac{- 1 + 7}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 7}{4}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{- 1 + 7}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - \frac{- 1 + 7}{4}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{- 1 + 7}{4}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 1 + 7}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 7}{4}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 1 + 7}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 7}{4}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1 + 7}{4} : x = arccos (\frac{1 + 7}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1 + 7}{4}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1 + 7}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{1 + 7}{4}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{1 + 7}{4}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{1 + 7}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1 + 7}{4}) + 2 πn

x = arccos (\frac{1 + 7}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1 + 7}{4}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (- \frac{- 1 + 7}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 7}{4}) + 2 πn, x = arccos (\frac{1 + 7}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1 + 7}{4}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

2 sin (x) = 1 - 2 cos (x)

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arccos (- \frac{- 1 + 7}{4}) + 2 πn :

Wahr

arccos (- \frac{- 1 + 7}{4}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (- \frac{- 1 + 7}{4}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (- \frac{- 1 + 7}{4}) + 2 π 1

2 sin (x) = 1 - 2 cos (x)

ein, um zu lösen

2 sin (arccos (- \frac{- 1 + 7}{4}) + 2 π 1) = 1 - 2 cos (arccos (- \frac{- 1 + 7}{4}) + 2 π 1)

Fasse zusammen

1.82287 \dots = 1.82287 \dots

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

- arccos (- \frac{- 1 + 7}{4}) + 2 πn :

Falsch

- arccos (- \frac{- 1 + 7}{4}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

- arccos (- \frac{- 1 + 7}{4}) + 2 π 1

Setze

x = - arccos (- \frac{- 1 + 7}{4}) + 2 π 1

2 sin (x) = 1 - 2 cos (x)

ein, um zu lösen

2 sin (- arccos (- \frac{- 1 + 7}{4}) + 2 π 1) = 1 - 2 cos (- arccos (- \frac{- 1 + 7}{4}) + 2 π 1)

Fasse zusammen

- 1.82287 \dots = 1.82287 \dots

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

arccos (\frac{1 + 7}{4}) + 2 πn :

Falsch

arccos (\frac{1 + 7}{4}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (\frac{1 + 7}{4}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (\frac{1 + 7}{4}) + 2 π 1

2 sin (x) = 1 - 2 cos (x)

ein, um zu lösen

2 sin (arccos (\frac{1 + 7}{4}) + 2 π 1) = 1 - 2 cos (arccos (\frac{1 + 7}{4}) + 2 π 1)

Fasse zusammen

0.82287 \dots = - 0.82287 \dots

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

2 π - arccos (\frac{1 + 7}{4}) + 2 πn :

Wahr

2 π - arccos (\frac{1 + 7}{4}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

2 π - arccos (\frac{1 + 7}{4}) + 2 π 1

Setze

x = 2 π - arccos (\frac{1 + 7}{4}) + 2 π 1

2 sin (x) = 1 - 2 cos (x)

ein, um zu lösen

2 sin (2 π - arccos (\frac{1 + 7}{4}) + 2 π 1) = 1 - 2 cos (2 π - arccos (\frac{1 + 7}{4}) + 2 π 1)

Fasse zusammen

- 0.82287 \dots = - 0.82287 \dots

\Rightarrow Wahr

x = arccos (- \frac{- 1 + 7}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1 + 7}{4}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 1.99482 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.42403 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin(x)=0.96

sin (x) = 0.96

sin(θ)=sqrt(2)

sin (θ) = 2

-cos(θ)-4=2cos^2(θ)-5

- cos (θ) - 4 = 2 cos^{2} (θ) - 5

3cos^2(x)-cos(x)=0

3 cos^{2} (x) - cos (x) = 0

3sin(x)+cos(x)=1

3 sin (x) + cos (x) = 1