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Beliebt Trigonometrie >

sin^2(x)=4cos(x)

Lösung

sin^{2} (x) = 4 cos (x)

Lösung

x = 1.33247 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.33247 \dots + 2 πn

Grad

x = 76.34541 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 283.65458 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sin^{2} (x) = 4 cos (x)

Subtrahiere

4 cos (x)

von beiden Seiten

sin^{2} (x) - 4 cos (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin^{2} (x) - 4 cos (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= 1 - cos^{2} (x) - 4 cos (x)

1 - cos^{2} (x) - 4 cos (x) = 0

Löse mit Substitution

1 - cos^{2} (x) - 4 cos (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

1 - u^{2} - 4 u = 0

1 - u^{2} - 4 u = 0 : u = - 2 - 5, u = 5 - 2

1 - u^{2} - 4 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- u^{2} - 4 u + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- u^{2} - 4 u + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 1, b = - 4, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 1}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 1}{2 ( - 1 )}

(- 4)^{2} - 4 (- 1) \cdot 1 = 25

(- 4)^{2} - 4 (- 1) \cdot 1

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 4)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 4^{2} + 4

4^{2} = 16

= 16 + 4

Addiere die Zahlen:

16 + 4 = 20

= 20

Primfaktorzerlegung von

20 : 2^{2} \cdot 5

20

20

ist durch

220 = 10 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 10

10

ist durch

210 = 5 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 5

2, 5

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 5 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 25

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 2 5}{2 ( - 1 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 4 ) + 2 5}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- ( - 4 ) - 2 5}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- ( - 4 ) + 2 5}{2 ( - 1 )} : - 2 - 5

\frac{- ( - 4 ) + 2 5}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{4 + 2 5}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{4 + 2 5}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4 + 2 5}{2}

Streiche

\frac{4 + 2 5}{2} : 2 + 5

\frac{4 + 2 5}{2}

Faktorisiere

4 + 25 : 2 (2 + 5)

4 + 25

Schreibe um

= 2 \cdot 2 + 25

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (2 + 5)

= \frac{2 ( 2 + 5 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= 2 + 5

= - (2 + 5)

Setze Klammern

= - (2) - (5)

Wende Minus-Plus Regeln an

+ (- a) = - a

= - 2 - 5

u = \frac{- ( - 4 ) - 2 5}{2 ( - 1 )} : 5 - 2

\frac{- ( - 4 ) - 2 5}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{4 - 2 5}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{4 - 2 5}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

4 - 25 = - (25 - 4)

= \frac{2 5 - 4}{2}

Faktorisiere

25 - 4 : 2 (5 - 2)

25 - 4

Schreibe um

= 25 - 2 \cdot 2

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (5 - 2)

= \frac{2 ( 5 - 2 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= 5 - 2

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - 2 - 5, u = 5 - 2

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - 2 - 5, cos (x) = 5 - 2

cos (x) = - 2 - 5, cos (x) = 5 - 2

cos (x) = - 2 - 5 :

Keine Lösung

cos (x) = - 2 - 5

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (x) = 5 - 2 : x = arccos (5 - 2) + 2 πn, x = 2 π - arccos (5 - 2) + 2 πn

cos (x) = 5 - 2

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = 5 - 2

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 5 - 2

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (5 - 2) + 2 πn, x = 2 π - arccos (5 - 2) + 2 πn

x = arccos (5 - 2) + 2 πn, x = 2 π - arccos (5 - 2) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (5 - 2) + 2 πn, x = 2 π - arccos (5 - 2) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 1.33247 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.33247 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

-8cos(x)sin(x)=0

- 8 cos (x) sin (x) = 0

sin^2(x)-3sin(x)-2=0

sin^{2} (x) - 3 sin (x) - 2 = 0

2cos(x)-sqrt(3)=0,0<= x<= 2pi

2 cos (x) - 3 = 0, 0 \leq x \leq 2 π

3cos(x/2)+sqrt(3)=cos(x/2)

3 cos (\frac{x}{2}) + 3 = cos (\frac{x}{2})

(tan(θ)+1)(tan(θ)-sqrt(3))=0

(tan (θ) + 1) (tan (θ) - 3) = 0