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sin^2(x)=4cos(x)

Solución

sin^{2} (x) = 4 cos (x)

Solución

x = 1.33247 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.33247 \dots + 2 πn

Grados

x = 76.34541 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 283.65458 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

sin^{2} (x) = 4 cos (x)

Restar

4 cos (x)

de ambos lados

sin^{2} (x) - 4 cos (x) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

sin^{2} (x) - 4 cos (x)

Utilizar la identidad pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= 1 - cos^{2} (x) - 4 cos (x)

1 - cos^{2} (x) - 4 cos (x) = 0

Usando el método de sustitución

1 - cos^{2} (x) - 4 cos (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

1 - u^{2} - 4 u = 0

1 - u^{2} - 4 u = 0 : u = - 2 - 5, u = 5 - 2

1 - u^{2} - 4 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

- u^{2} - 4 u + 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- u^{2} - 4 u + 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 1, b = - 4, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 1}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 1}{2 ( - 1 )}

(- 4)^{2} - 4 (- 1) \cdot 1 = 25

(- 4)^{2} - 4 (- 1) \cdot 1

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 4)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 4^{2} + 4

4^{2} = 16

= 16 + 4

Sumar:

16 + 4 = 20

= 20

Descomposición en factores primos de

20 : 2^{2} \cdot 5

20

20

divida por

220 = 10 \cdot 2

= 2 \cdot 10

10

divida por

210 = 5 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 5

2, 5

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 5 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 25

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 2 5}{2 ( - 1 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 4 ) + 2 5}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- ( - 4 ) - 2 5}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- ( - 4 ) + 2 5}{2 ( - 1 )} : - 2 - 5

\frac{- ( - 4 ) + 2 5}{2 ( - 1 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{4 + 2 5}{- 2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{4 + 2 5}{- 2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4 + 2 5}{2}

Cancelar

\frac{4 + 2 5}{2} : 2 + 5

\frac{4 + 2 5}{2}

Factorizar

4 + 25 : 2 (2 + 5)

4 + 25

Reescribir como

= 2 \cdot 2 + 25

Factorizar el termino común

2

= 2 (2 + 5)

= \frac{2 ( 2 + 5 )}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= 2 + 5

= - (2 + 5)

Poner los parentesis

= - (2) - (5)

Aplicar las reglas de los signos

+ (- a) = - a

= - 2 - 5

u = \frac{- ( - 4 ) - 2 5}{2 ( - 1 )} : 5 - 2

\frac{- ( - 4 ) - 2 5}{2 ( - 1 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{4 - 2 5}{- 2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{4 - 2 5}{- 2}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

4 - 25 = - (25 - 4)

= \frac{2 5 - 4}{2}

Factorizar

25 - 4 : 2 (5 - 2)

25 - 4

Reescribir como

= 25 - 2 \cdot 2

Factorizar el termino común

2

= 2 (5 - 2)

= \frac{2 ( 5 - 2 )}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= 5 - 2

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - 2 - 5, u = 5 - 2

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = - 2 - 5, cos (x) = 5 - 2

cos (x) = - 2 - 5, cos (x) = 5 - 2

cos (x) = - 2 - 5 :

Sin solución

cos (x) = - 2 - 5

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

cos (x) = 5 - 2 : x = arccos (5 - 2) + 2 πn, x = 2 π - arccos (5 - 2) + 2 πn

cos (x) = 5 - 2

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = 5 - 2

Soluciones generales para

cos (x) = 5 - 2

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (5 - 2) + 2 πn, x = 2 π - arccos (5 - 2) + 2 πn

x = arccos (5 - 2) + 2 πn, x = 2 π - arccos (5 - 2) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = arccos (5 - 2) + 2 πn, x = 2 π - arccos (5 - 2) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = 1.33247 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.33247 \dots + 2 πn

Ejemplos populares

-8cos(x)sin(x)=0

- 8 cos (x) sin (x) = 0

0=cot(x)

0 = cot (x)

sin^2(x)-3sin(x)-2=0

sin^{2} (x) - 3 sin (x) - 2 = 0

-11tan(x)+1=-2(4+tan(x))

- 11 tan (x) + 1 = - 2 (4 + tan (x))

16=-10cos((2pi)/(150)t)+10

16 = - 10 cos (\frac{2 π}{150} t) + 10