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Beliebt Trigonometrie >

3cos(2x)-2cos(x)-1=0

Lösung

3 cos (2 x) - 2 cos (x) - 1 = 0

Lösung

x = 2 πn, x = 2.30052 \dots + 2 πn, x = - 2.30052 \dots + 2 πn

Grad

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 131.81031 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 131.81031 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

3 cos (2 x) - 2 cos (x) - 1 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 - 2 cos (x) + 3 cos (2 x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= - 1 - 2 cos (x) + 3 (2 cos^{2} (x) - 1)

Vereinfache

- 1 - 2 cos (x) + 3 (2 cos^{2} (x) - 1) : 6 cos^{2} (x) - 2 cos (x) - 4

- 1 - 2 cos (x) + 3 (2 cos^{2} (x) - 1)

Multipliziere aus

3 (2 cos^{2} (x) - 1) : 6 cos^{2} (x) - 3

3 (2 cos^{2} (x) - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = 2 cos^{2} (x), c = 1

= 3 \cdot 2 cos^{2} (x) - 3 \cdot 1

Vereinfache

3 \cdot 2 cos^{2} (x) - 3 \cdot 1 : 6 cos^{2} (x) - 3

3 \cdot 2 cos^{2} (x) - 3 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 2 = 6

= 6 cos^{2} (x) - 3 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 1 = 3

= 6 cos^{2} (x) - 3

= 6 cos^{2} (x) - 3

= - 1 - 2 cos (x) + 6 cos^{2} (x) - 3

Vereinfache

- 1 - 2 cos (x) + 6 cos^{2} (x) - 3 : 6 cos^{2} (x) - 2 cos (x) - 4

- 1 - 2 cos (x) + 6 cos^{2} (x) - 3

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 2 cos (x) + 6 cos^{2} (x) - 1 - 3

Subtrahiere die Zahlen:

- 1 - 3 = - 4

= 6 cos^{2} (x) - 2 cos (x) - 4

= 6 cos^{2} (x) - 2 cos (x) - 4

= 6 cos^{2} (x) - 2 cos (x) - 4

- 4 - 2 cos (x) + 6 cos^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

- 4 - 2 cos (x) + 6 cos^{2} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

- 4 - 2 u + 6 u^{2} = 0

- 4 - 2 u + 6 u^{2} = 0 : u = 1, u = - \frac{2}{3}

- 4 - 2 u + 6 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

6 u^{2} - 2 u - 4 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

6 u^{2} - 2 u - 4 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 6, b = - 2, c = - 4

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 6 ( - 4 )}{2 \cdot 6}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 6 ( - 4 )}{2 \cdot 6}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 6 (- 4) = 10

(- 2)^{2} - 4 \cdot 6 (- 4)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 6 \cdot 4

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 6 \cdot 4

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 6 \cdot 4 = 96

= 2^{2} + 96

2^{2} = 4

= 4 + 96

Addiere die Zahlen:

4 + 96 = 100

= 100

Faktorisiere die Zahl:

100 = 1 0^{2}

= 1 0^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

1 0^{2} = 10

= 10

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 10}{2 \cdot 6}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 10}{2 \cdot 6}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 10}{2 \cdot 6}

u = \frac{- ( - 2 ) + 10}{2 \cdot 6} : 1

\frac{- ( - 2 ) + 10}{2 \cdot 6}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 + 10}{2 \cdot 6}

Addiere die Zahlen:

2 + 10 = 12

= \frac{12}{2 \cdot 6}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{12}{12}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 2 ) - 10}{2 \cdot 6} : - \frac{2}{3}

\frac{- ( - 2 ) - 10}{2 \cdot 6}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 - 10}{2 \cdot 6}

Subtrahiere die Zahlen:

2 - 10 = - 8

= \frac{- 8}{2 \cdot 6}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{- 8}{12}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8}{12}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= - \frac{2}{3}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 1, u = - \frac{2}{3}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = 1, cos (x) = - \frac{2}{3}

cos (x) = 1, cos (x) = - \frac{2}{3}

cos (x) = 1 : x = 2 πn

cos (x) = 1

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Löse

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

cos (x) = - \frac{2}{3} : x = arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{2}{3}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - \frac{2}{3}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{2}{3}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = 2 πn, x = arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 2 πn, x = 2.30052 \dots + 2 πn, x = - 2.30052 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin(3pix)=0

sin (3 π x) = 0

3=cot^2(θ)+4cot(θ)

3 = cot^{2} (θ) + 4 cot (θ)

cos^2(2x)+3sin(2x)-3=0

cos^{2} (2 x) + 3 sin (2 x) - 3 = 0

sqrt(1-cos^2(x))=0.75sqrt(1-cos^2(y))

1 - cos^{2} (x) = 0.75 1 - cos^{2} (y)

sec^2(x)-6tan(x)+4=0

sec^{2} (x) - 6 tan (x) + 4 = 0