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Beliebt Trigonometrie >

2cos(x)-sqrt(3)sin(x)=1

Lösung

2 cos (x) - 3 sin (x) = 1

Lösung

x = π + 1.24466 \dots + 2 πn, x = 0.46947 \dots + 2 πn

Grad

x = 251.31425 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 26.89895 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 cos (x) - 3 sin (x) = 1

Füge

3 sin (x)

zu beiden Seiten hinzu

2 cos (x) = 1 + 3 sin (x)

Quadriere beide Seiten

(2 cos (x))^{2} = (1 + 3 sin (x))^{2}

Subtrahiere

(1 + 3 sin (x))^{2}

von beiden Seiten

4 cos^{2} (x) - 1 - 23 sin (x) - 3 sin^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 - 3 sin^{2} (x) + 4 cos^{2} (x) - 2 sin (x) 3

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 1 - 3 sin^{2} (x) + 4 (1 - sin^{2} (x)) - 2 sin (x) 3

Vereinfache

- 1 - 3 sin^{2} (x) + 4 (1 - sin^{2} (x)) - 2 sin (x) 3 : - 7 sin^{2} (x) - 23 sin (x) + 3

- 1 - 3 sin^{2} (x) + 4 (1 - sin^{2} (x)) - 2 sin (x) 3

= - 1 - 3 sin^{2} (x) + 4 (1 - sin^{2} (x)) - 23 sin (x)

Multipliziere aus

4 (1 - sin^{2} (x)) : 4 - 4 sin^{2} (x)

4 (1 - sin^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 4 \cdot 1 - 4 sin^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 sin^{2} (x)

= - 1 - 3 sin^{2} (x) + 4 - 4 sin^{2} (x) - 2 sin (x) 3

Vereinfache

- 1 - 3 sin^{2} (x) + 4 - 4 sin^{2} (x) - 2 sin (x) 3 : - 7 sin^{2} (x) - 23 sin (x) + 3

- 1 - 3 sin^{2} (x) + 4 - 4 sin^{2} (x) - 2 sin (x) 3

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 3 sin^{2} (x) - 4 sin^{2} (x) - 23 sin (x) - 1 + 4

Addiere gleiche Elemente:

- 3 sin^{2} (x) - 4 sin^{2} (x) = - 7 sin^{2} (x)

= - 7 sin^{2} (x) - 23 sin (x) - 1 + 4

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 1 + 4 = 3

= - 7 sin^{2} (x) - 23 sin (x) + 3

= - 7 sin^{2} (x) - 23 sin (x) + 3

= - 7 sin^{2} (x) - 23 sin (x) + 3

3 - 7 sin^{2} (x) - 2 sin (x) 3 = 0

Löse mit Substitution

3 - 7 sin^{2} (x) - 2 sin (x) 3 = 0

Angenommen:

sin (x) = u

3 - 7 u^{2} - 2 u 3 = 0

3 - 7 u^{2} - 2 u 3 = 0 : u = - \frac{3 + 2 6}{7}, u = \frac{2 6 - 3}{7}

3 - 7 u^{2} - 2 u 3 = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 7 u^{2} - 23 u + 3 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 7 u^{2} - 23 u + 3 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 7, b = - 23, c = 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 3 ) \pm ( - 2 3 ) ^{2} - 4 ( - 7 ) \cdot 3}{2 ( - 7 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 3 ) \pm ( - 2 3 ) ^{2} - 4 ( - 7 ) \cdot 3}{2 ( - 7 )}

(- 23)^{2} - 4 (- 7) \cdot 3 = 46

(- 23)^{2} - 4 (- 7) \cdot 3

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 23)^{2} + 4 \cdot 7 \cdot 3

(- 23)^{2} = 2^{2} \cdot 3

(- 23)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 23)^{2} = (23)^{2}

= (23)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 2^{2} (3)^{2}

(3)^{2} : 3

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 3

= 2^{2} \cdot 3

4 \cdot 7 \cdot 3 = 84

4 \cdot 7 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 7 \cdot 3 = 84

= 84

= 2^{2} \cdot 3 + 84

2^{2} \cdot 3 = 12

2^{2} \cdot 3

2^{2} = 4

= 4 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 3 = 12

= 12

= 12 + 84

Addiere die Zahlen:

12 + 84 = 96

= 96

Primfaktorzerlegung von

96 : 2^{5} \cdot 3

96

96

ist durch

296 = 48 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 48

48

ist durch

248 = 24 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 24

24

ist durch

224 = 12 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 12

12

ist durch

212 = 6 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{5} \cdot 3

= 2^{5} \cdot 3

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{4} \cdot 2 \cdot 3

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2^{4} 2 \cdot 3

Wende Radikal Regel an:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 2 \cdot 3

Fasse zusammen

= 46

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 3 ) \pm 4 6}{2 ( - 7 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 2 3 ) + 4 6}{2 ( - 7 )}, u_{2} = \frac{- ( - 2 3 ) - 4 6}{2 ( - 7 )}

u = \frac{- ( - 2 3 ) + 4 6}{2 ( - 7 )} : - \frac{3 + 2 6}{7}

\frac{- ( - 2 3 ) + 4 6}{2 ( - 7 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 3 + 4 6}{- 2 \cdot 7}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 7 = 14

= \frac{2 3 + 4 6}{- 14}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 3 + 4 6}{14}

Streiche

\frac{2 3 + 4 6}{14} : \frac{2 6 + 3}{7}

\frac{2 3 + 4 6}{14}

Faktorisiere

23 + 46 : 2 (3 + 26)

23 + 46

Schreibe um

= 23 + 2 \cdot 26

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (3 + 26)

= \frac{2 ( 3 + 2 6 )}{14}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{3 + 2 6}{7}

= - \frac{2 6 + 3}{7}

= - \frac{3 + 2 6}{7}

u = \frac{- ( - 2 3 ) - 4 6}{2 ( - 7 )} : \frac{2 6 - 3}{7}

\frac{- ( - 2 3 ) - 4 6}{2 ( - 7 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 3 - 4 6}{- 2 \cdot 7}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 7 = 14

= \frac{2 3 - 4 6}{- 14}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

23 - 46 = - (46 - 23)

= \frac{4 6 - 2 3}{14}

Faktorisiere

46 - 23 : 2 (26 - 3)

46 - 23

Schreibe um

= 2 \cdot 26 - 23

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (26 - 3)

= \frac{2 ( 2 6 - 3 )}{14}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{2 6 - 3}{7}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{3 + 2 6}{7}, u = \frac{2 6 - 3}{7}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = - \frac{3 + 2 6}{7}, sin (x) = \frac{2 6 - 3}{7}

sin (x) = - \frac{3 + 2 6}{7}, sin (x) = \frac{2 6 - 3}{7}

sin (x) = - \frac{3 + 2 6}{7} : x = arcsin (- \frac{3 + 2 6}{7}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{3 + 2 6}{7}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{3 + 2 6}{7}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = - \frac{3 + 2 6}{7}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - \frac{3 + 2 6}{7}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{3 + 2 6}{7}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{3 + 2 6}{7}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{3 + 2 6}{7}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{3 + 2 6}{7}) + 2 πn

sin (x) = \frac{2 6 - 3}{7} : x = arcsin (\frac{2 6 - 3}{7}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{2 6 - 3}{7}) + 2 πn

sin (x) = \frac{2 6 - 3}{7}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = \frac{2 6 - 3}{7}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{2 6 - 3}{7}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{2 6 - 3}{7}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{2 6 - 3}{7}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{2 6 - 3}{7}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{2 6 - 3}{7}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsin (- \frac{3 + 2 6}{7}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{3 + 2 6}{7}) + 2 πn, x = arcsin (\frac{2 6 - 3}{7}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{2 6 - 3}{7}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

2 cos (x) - 3 sin (x) = 1

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arcsin (- \frac{3 + 2 6}{7}) + 2 πn :

Falsch

arcsin (- \frac{3 + 2 6}{7}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (- \frac{3 + 2 6}{7}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (- \frac{3 + 2 6}{7}) + 2 π 1

2 cos (x) - 3 sin (x) = 1

ein, um zu lösen

2 cos (arcsin (- \frac{3 + 2 6}{7}) + 2 π 1) - 3 sin (arcsin (- \frac{3 + 2 6}{7}) + 2 π 1) = 1

Fasse zusammen

2.28150 \dots = 1

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

π + arcsin (\frac{3 + 2 6}{7}) + 2 πn :

Wahr

π + arcsin (\frac{3 + 2 6}{7}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + arcsin (\frac{3 + 2 6}{7}) + 2 π 1

Setze

x = π + arcsin (\frac{3 + 2 6}{7}) + 2 π 1

2 cos (x) - 3 sin (x) = 1

ein, um zu lösen

2 cos (π + arcsin (\frac{3 + 2 6}{7}) + 2 π 1) - 3 sin (π + arcsin (\frac{3 + 2 6}{7}) + 2 π 1) = 1

Fasse zusammen

1 = 1

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

arcsin (\frac{2 6 - 3}{7}) + 2 πn :

Wahr

arcsin (\frac{2 6 - 3}{7}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (\frac{2 6 - 3}{7}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (\frac{2 6 - 3}{7}) + 2 π 1

2 cos (x) - 3 sin (x) = 1

ein, um zu lösen

2 cos (arcsin (\frac{2 6 - 3}{7}) + 2 π 1) - 3 sin (arcsin (\frac{2 6 - 3}{7}) + 2 π 1) = 1

Fasse zusammen

1 = 1

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π - arcsin (\frac{2 6 - 3}{7}) + 2 πn :

Falsch

π - arcsin (\frac{2 6 - 3}{7}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π - arcsin (\frac{2 6 - 3}{7}) + 2 π 1

Setze

x = π - arcsin (\frac{2 6 - 3}{7}) + 2 π 1

2 cos (x) - 3 sin (x) = 1

ein, um zu lösen

2 cos (π - arcsin (\frac{2 6 - 3}{7}) + 2 π 1) - 3 sin (π - arcsin (\frac{2 6 - 3}{7}) + 2 π 1) = 1

Fasse zusammen

- 2.56722 \dots = 1

\Rightarrow Falsch

x = π + arcsin (\frac{3 + 2 6}{7}) + 2 πn, x = arcsin (\frac{2 6 - 3}{7}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = π + 1.24466 \dots + 2 πn, x = 0.46947 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos^2(x)=tan(x)

cos^{2} (x) = tan (x)

sin^2(x)-6sin(x)+3=0

sin^{2} (x) - 6 sin (x) + 3 = 0

12csc^2(θ)-csc(θ)-1=0

12 csc^{2} (θ) - csc (θ) - 1 = 0

2cos(2θ)-4cos(θ)+2=-1

2 cos (2 θ) - 4 cos (θ) + 2 = - 1

cos(a)= 1/(sin(a))

cos (a) = \frac{1}{sin ( a )}