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Beliebt Trigonometrie >

2cos(x)-3sin(x)=2

Lösung

2 cos (x) - 3 sin (x) = 2

Lösung

x = π + 1.17600 \dots + 2 πn, x = 2 πn

Grad

x = 247.38013 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 cos (x) - 3 sin (x) = 2

Füge

3 sin (x)

zu beiden Seiten hinzu

2 cos (x) = 2 + 3 sin (x)

Quadriere beide Seiten

(2 cos (x))^{2} = (2 + 3 sin (x))^{2}

Subtrahiere

(2 + 3 sin (x))^{2}

von beiden Seiten

4 cos^{2} (x) - 4 - 12 sin (x) - 9 sin^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 4 - 12 sin (x) + 4 cos^{2} (x) - 9 sin^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 4 - 12 sin (x) + 4 (1 - sin^{2} (x)) - 9 sin^{2} (x)

Vereinfache

- 4 - 12 sin (x) + 4 (1 - sin^{2} (x)) - 9 sin^{2} (x) : - 13 sin^{2} (x) - 12 sin (x)

- 4 - 12 sin (x) + 4 (1 - sin^{2} (x)) - 9 sin^{2} (x)

Multipliziere aus

4 (1 - sin^{2} (x)) : 4 - 4 sin^{2} (x)

4 (1 - sin^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 4 \cdot 1 - 4 sin^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 sin^{2} (x)

= - 4 - 12 sin (x) + 4 - 4 sin^{2} (x) - 9 sin^{2} (x)

Vereinfache

- 4 - 12 sin (x) + 4 - 4 sin^{2} (x) - 9 sin^{2} (x) : - 13 sin^{2} (x) - 12 sin (x)

- 4 - 12 sin (x) + 4 - 4 sin^{2} (x) - 9 sin^{2} (x)

Addiere gleiche Elemente:

- 4 sin^{2} (x) - 9 sin^{2} (x) = - 13 sin^{2} (x)

= - 4 - 12 sin (x) + 4 - 13 sin^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 12 sin (x) - 13 sin^{2} (x) - 4 + 4

- 4 + 4 = 0

= - 13 sin^{2} (x) - 12 sin (x)

= - 13 sin^{2} (x) - 12 sin (x)

= - 13 sin^{2} (x) - 12 sin (x)

- 12 sin (x) - 13 sin^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

- 12 sin (x) - 13 sin^{2} (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

- 12 u - 13 u^{2} = 0

- 12 u - 13 u^{2} = 0 : u = - \frac{12}{13}, u = 0

- 12 u - 13 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 13 u^{2} - 12 u = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 13 u^{2} - 12 u = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 13, b = - 12, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 12 ) \pm ( - 12 ) ^{2} - 4 ( - 13 ) \cdot 0}{2 ( - 13 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 12 ) \pm ( - 12 ) ^{2} - 4 ( - 13 ) \cdot 0}{2 ( - 13 )}

(- 12)^{2} - 4 (- 13) \cdot 0 = 12

(- 12)^{2} - 4 (- 13) \cdot 0

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 12)^{2} + 4 \cdot 13 \cdot 0

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 12)^{2} = 1 2^{2}

= 1 2^{2} + 4 \cdot 13 \cdot 0

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 1 2^{2} + 0

1 2^{2} + 0 = 1 2^{2}

= 1 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a,

angenommen

a \geq 0

= 12

u_{1, 2} = \frac{- ( - 12 ) \pm 12}{2 ( - 13 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 12 ) + 12}{2 ( - 13 )}, u_{2} = \frac{- ( - 12 ) - 12}{2 ( - 13 )}

u = \frac{- ( - 12 ) + 12}{2 ( - 13 )} : - \frac{12}{13}

\frac{- ( - 12 ) + 12}{2 ( - 13 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{12 + 12}{- 2 \cdot 13}

Addiere die Zahlen:

12 + 12 = 24

= \frac{24}{- 2 \cdot 13}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 13 = 26

= \frac{24}{- 26}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{24}{26}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{12}{13}

u = \frac{- ( - 12 ) - 12}{2 ( - 13 )} : 0

\frac{- ( - 12 ) - 12}{2 ( - 13 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{12 - 12}{- 2 \cdot 13}

Subtrahiere die Zahlen:

12 - 12 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 13}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 13 = 26

= \frac{0}{- 26}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{26}

Wende Regel an

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{12}{13}, u = 0

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = - \frac{12}{13}, sin (x) = 0

sin (x) = - \frac{12}{13}, sin (x) = 0

sin (x) = - \frac{12}{13} : x = arcsin (- \frac{12}{13}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{12}{13}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{12}{13}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = - \frac{12}{13}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - \frac{12}{13}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{12}{13}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{12}{13}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{12}{13}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{12}{13}) + 2 πn

sin (x) = 0 : x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = 0

Allgemeine Lösung für

sin (x) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Löse

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsin (- \frac{12}{13}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{12}{13}) + 2 πn, x = 2 πn, x = π + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

2 cos (x) - 3 sin (x) = 2

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arcsin (- \frac{12}{13}) + 2 πn :

Falsch

arcsin (- \frac{12}{13}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (- \frac{12}{13}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (- \frac{12}{13}) + 2 π 1

2 cos (x) - 3 sin (x) = 2

ein, um zu lösen

2 cos (arcsin (- \frac{12}{13}) + 2 π 1) - 3 sin (arcsin (- \frac{12}{13}) + 2 π 1) = 2

Fasse zusammen

3.53846 \dots = 2

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

π + arcsin (\frac{12}{13}) + 2 πn :

Wahr

π + arcsin (\frac{12}{13}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + arcsin (\frac{12}{13}) + 2 π 1

Setze

x = π + arcsin (\frac{12}{13}) + 2 π 1

2 cos (x) - 3 sin (x) = 2

ein, um zu lösen

2 cos (π + arcsin (\frac{12}{13}) + 2 π 1) - 3 sin (π + arcsin (\frac{12}{13}) + 2 π 1) = 2

Fasse zusammen

2 = 2

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

2 πn :

Wahr

2 πn

Setze ein

n = 1

2 π 1

Setze

x = 2 π 1

2 cos (x) - 3 sin (x) = 2

ein, um zu lösen

2 cos (2 π 1) - 3 sin (2 π 1) = 2

Fasse zusammen

2 = 2

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π + 2 πn :

Falsch

π + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + 2 π 1

Setze

x = π + 2 π 1

2 cos (x) - 3 sin (x) = 2

ein, um zu lösen

2 cos (π + 2 π 1) - 3 sin (π + 2 π 1) = 2

Fasse zusammen

- 2 = 2

\Rightarrow Falsch

x = π + arcsin (\frac{12}{13}) + 2 πn, x = 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = π + 1.17600 \dots + 2 πn, x = 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

-2=2sin(x)

- 2 = 2 sin (x)

solvefor x,3sec(x)-4cos(x)=0

so l v e f or x, 3 sec (x) - 4 cos (x) = 0

cos(x-pi/2)= 1/2

cos (x - \frac{π}{2}) = \frac{1}{2}

tan(x)= 9/9

tan (x) = \frac{9}{9}

tan(x)= 9/7

tan (x) = \frac{9}{7}