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provar sin(2x)+cos(2x)-1=2sin(x)(cos(x)-sin(x))

Solução

provar

sin (2 x) + cos (2 x) - 1 = 2 sin (x) (cos (x) - sin (x))

Verdadeiro

Passos da solução

sin (2 x) + cos (2 x) - 1 = 2 sin (x) (cos (x) - sin (x))

Manipular o lado direito

sin (2 x) + cos (2 x) - 1

Reeecreva usando identidades trigonométricas

sin (2 x) + cos (2 x) - 1

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= 2 sin (x) cos (x) + cos (2 x) - 1

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= 2 sin (x) cos (x) + 1 - 2 sin^{2} (x) - 1

Simplificar

2 sin (x) cos (x) + 1 - 2 sin^{2} (x) - 1 : 2 sin (x) cos (x) - 2 sin^{2} (x)

2 sin (x) cos (x) + 1 - 2 sin^{2} (x) - 1

Agrupar termos semelhantes

= 2 sin (x) cos (x) - 2 sin^{2} (x) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 sin (x) cos (x) - 2 sin^{2} (x)

= 2 sin (x) cos (x) - 2 sin^{2} (x)

= 2 sin (x) cos (x) - 2 sin^{2} (x)

Fatorar

- 2 sin^{2} (x) + 2 cos (x) sin (x) : 2 sin (x) (- sin (x) + cos (x))

- 2 sin^{2} (x) + 2 cos (x) sin (x)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

sin^{2} (x) = sin (x) sin (x)

= - 2 sin (x) sin (x) + 2 cos (x) sin (x)

Reescrever como

= - 2 sin (x) sin (x) + 2 sin (x) cos (x)

Fatorar o termo comum

2 sin (x)

= 2 sin (x) (- sin (x) + cos (x))

= (cos (x) - sin (x)) \cdot 2 sin (x)

= 2 sin (x) (cos (x) - sin (x))

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

p ro v e (csc^{2} (x) - 1) sin (x) = cot (x) cos (x)

p ro v e cot (x) (1 - cos^{2} (x)) = \frac{1}{2} sin (2 x)

p ro v e \frac{sec ^{2} ( t )}{tan ( t )} = sec (t) csc (t)

p ro v e cos (x) (tan^{2} (x) + 1) = sec (x)

p ro v e csc^{2} (θ) - cot^{2} (θ) = 1