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dimostrare sin(2x)+cos(2x)-1=2sin(x)(cos(x)-sin(x))

Soluzione

dimostrare

sin (2 x) + cos (2 x) - 1 = 2 sin (x) (cos (x) - sin (x))

Vero

Fasi della soluzione

sin (2 x) + cos (2 x) - 1 = 2 sin (x) (cos (x) - sin (x))

Manipolando il lato sinistro

sin (2 x) + cos (2 x) - 1

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

sin (2 x) + cos (2 x) - 1

Usare l'Identità Doppio Angolo:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= 2 sin (x) cos (x) + cos (2 x) - 1

Usare l'Identità Doppio Angolo:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= 2 sin (x) cos (x) + 1 - 2 sin^{2} (x) - 1

Semplifica

2 sin (x) cos (x) + 1 - 2 sin^{2} (x) - 1 : 2 sin (x) cos (x) - 2 sin^{2} (x)

2 sin (x) cos (x) + 1 - 2 sin^{2} (x) - 1

Raggruppa termini simili

= 2 sin (x) cos (x) - 2 sin^{2} (x) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 sin (x) cos (x) - 2 sin^{2} (x)

= 2 sin (x) cos (x) - 2 sin^{2} (x)

= 2 sin (x) cos (x) - 2 sin^{2} (x)

Fattorizza

- 2 sin^{2} (x) + 2 cos (x) sin (x) : 2 sin (x) (- sin (x) + cos (x))

- 2 sin^{2} (x) + 2 cos (x) sin (x)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

sin^{2} (x) = sin (x) sin (x)

= - 2 sin (x) sin (x) + 2 cos (x) sin (x)

Riscrivi come

= - 2 sin (x) sin (x) + 2 sin (x) cos (x)

Fattorizzare dal termine comune

2 sin (x)

= 2 sin (x) (- sin (x) + cos (x))

= (cos (x) - sin (x)) \cdot 2 sin (x)

= 2 sin (x) (cos (x) - sin (x))

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

p ro v e (csc^{2} (x) - 1) sin (x) = cot (x) cos (x)

p ro v e cot (x) (1 - cos^{2} (x)) = \frac{1}{2} sin (2 x)

p ro v e \frac{sec ^{2} ( t )}{tan ( t )} = sec (t) csc (t)

p ro v e cos (x) (tan^{2} (x) + 1) = sec (x)

p ro v e csc^{2} (θ) - cot^{2} (θ) = 1