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Populaire Trigonométrie >

prouver sin^3(θ)= 3/4 sin(θ)-1/4 sin(3θ)

Solution

prouver

sin^{3} (θ) = \frac{3}{4} sin (θ) - \frac{1}{4} sin (3 θ)

Solution

vrai

étapes des solutions

sin^{3} (θ) = \frac{3}{4} sin (θ) - \frac{1}{4} sin (3 θ)

En manipulant le côté droit

\frac{3}{4} sin (θ) - \frac{1}{4} sin (3 θ)

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

\frac{3}{4} sin (θ) - \frac{1}{4} sin (3 θ)

Utiliser les identités suivantes:

sin (3 x) = 3 sin (x) - 4 sin^{3} (x)

sin (3 x)

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

sin (3 x)

Récrire comme

= sin (2 x + x)

Utiliser l'identité de la somme de l'angle:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= sin (2 x) cos (x) + cos (2 x) sin (x)

Utiliser l'identité d'angle double:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= cos (2 x) sin (x) + cos (x) 2 sin (x) cos (x)

Simplifier

cos (2 x) sin (x) + cos (x) \cdot 2 sin (x) cos (x) : sin (x) cos (2 x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

cos (2 x) sin (x) + cos (x) 2 sin (x) cos (x)

cos (x) \cdot 2 sin (x) cos (x) = 2 cos^{2} (x) sin (x)

cos (x) 2 sin (x) cos (x)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= 2 sin (x) cos^{1 + 1} (x)

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= 2 sin (x) cos^{2} (x)

= sin (x) cos (2 x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

= sin (x) cos (2 x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

= sin (x) cos (2 x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

Utiliser l'identité d'angle double:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= (1 - 2 sin^{2} (x)) sin (x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (1 - 2 sin^{2} (x)) sin (x) + 2 (1 - sin^{2} (x)) sin (x)

Développer

(1 - 2 sin^{2} (x)) sin (x) + 2 (1 - sin^{2} (x)) sin (x) : - 4 sin^{3} (x) + 3 sin (x)

(1 - 2 sin^{2} (x)) sin (x) + 2 (1 - sin^{2} (x)) sin (x)

= sin (x) (1 - 2 sin^{2} (x)) + 2 sin (x) (1 - sin^{2} (x))

Développer

sin (x) (1 - 2 sin^{2} (x)) : sin (x) - 2 sin^{3} (x)

sin (x) (1 - 2 sin^{2} (x))

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = sin (x), b = 1, c = 2 sin^{2} (x)

= sin (x) 1 - sin (x) 2 sin^{2} (x)

= 1 sin (x) - 2 sin^{2} (x) sin (x)

Simplifier

1 \cdot sin (x) - 2 sin^{2} (x) sin (x) : sin (x) - 2 sin^{3} (x)

1 sin (x) - 2 sin^{2} (x) sin (x)

1 \cdot sin (x) = sin (x)

1 sin (x)

Multiplier:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= sin (x)

2 sin^{2} (x) sin (x) = 2 sin^{3} (x)

2 sin^{2} (x) sin (x)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin^{2} (x) sin (x) = sin^{2 + 1} (x)

= 2 sin^{2 + 1} (x)

Additionner les nombres :

2 + 1 = 3

= 2 sin^{3} (x)

= sin (x) - 2 sin^{3} (x)

= sin (x) - 2 sin^{3} (x)

= sin (x) - 2 sin^{3} (x) + 2 (1 - sin^{2} (x)) sin (x)

Développer

2 sin (x) (1 - sin^{2} (x)) : 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

2 sin (x) (1 - sin^{2} (x))

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = 2 sin (x), b = 1, c = sin^{2} (x)

= 2 sin (x) 1 - 2 sin (x) sin^{2} (x)

= 2 \cdot 1 sin (x) - 2 sin^{2} (x) sin (x)

Simplifier

2 \cdot 1 \cdot sin (x) - 2 sin^{2} (x) sin (x) : 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

2 \cdot 1 sin (x) - 2 sin^{2} (x) sin (x)

2 \cdot 1 \cdot sin (x) = 2 sin (x)

2 \cdot 1 sin (x)

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= 2 sin (x)

2 sin^{2} (x) sin (x) = 2 sin^{3} (x)

2 sin^{2} (x) sin (x)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin^{2} (x) sin (x) = sin^{2 + 1} (x)

= 2 sin^{2 + 1} (x)

Additionner les nombres :

2 + 1 = 3

= 2 sin^{3} (x)

= 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

= 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

= sin (x) - 2 sin^{3} (x) + 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

Simplifier

sin (x) - 2 sin^{3} (x) + 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x) : - 4 sin^{3} (x) + 3 sin (x)

sin (x) - 2 sin^{3} (x) + 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

Grouper comme termes

= - 2 sin^{3} (x) - 2 sin^{3} (x) + sin (x) + 2 sin (x)

Additionner les éléments similaires :

- 2 sin^{3} (x) - 2 sin^{3} (x) = - 4 sin^{3} (x)

= - 4 sin^{3} (x) + sin (x) + 2 sin (x)

Additionner les éléments similaires :

sin (x) + 2 sin (x) = 3 sin (x)

= - 4 sin^{3} (x) + 3 sin (x)

= - 4 sin^{3} (x) + 3 sin (x)

= - 4 sin^{3} (x) + 3 sin (x)

= 3 sin (x) - 4 sin^{3} (x)

= \frac{3}{4} sin (θ) - \frac{1}{4} (3 sin (θ) - 4 sin^{3} (θ))

Simplifier

\frac{3}{4} sin (θ) - \frac{1}{4} (3 sin (θ) - 4 sin^{3} (θ)) : sin^{3} (θ)

\frac{3}{4} sin (θ) - \frac{1}{4} (3 sin (θ) - 4 sin^{3} (θ))

Développer

- \frac{1}{4} (3 sin (θ) - 4 sin^{3} (θ)) : - \frac{3}{4} sin (θ) + sin^{3} (θ)

- \frac{1}{4} (3 sin (θ) - 4 sin^{3} (θ))

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = - \frac{1}{4}, b = 3 sin (θ), c = 4 sin^{3} (θ)

= - \frac{1}{4} \cdot 3 sin (θ) - (- \frac{1}{4}) \cdot 4 sin^{3} (θ)

Appliquer les règles des moins et des plus

- (- a) = a

= - 3 \cdot \frac{1}{4} sin (θ) + 4 \cdot \frac{1}{4} sin^{3} (θ)

Simplifier

- 3 \cdot \frac{1}{4} sin (θ) + 4 \cdot \frac{1}{4} sin^{3} (θ) : - \frac{3}{4} sin (θ) + sin^{3} (θ)

- 3 \cdot \frac{1}{4} sin (θ) + 4 \cdot \frac{1}{4} sin^{3} (θ)

3 \cdot \frac{1}{4} sin (θ) = \frac{3}{4} sin (θ)

3 \cdot \frac{1}{4} sin (θ)

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 3}{4} sin (θ)

Multiplier les nombres :

1 \cdot 3 = 3

= \frac{3}{4} sin (θ)

4 \cdot \frac{1}{4} sin^{3} (θ) = sin^{3} (θ)

4 \cdot \frac{1}{4} sin^{3} (θ)

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 4}{4} sin^{3} (θ)

Annuler le facteur commun :

4

= sin^{3} (θ) \cdot 1

Multiplier:

sin^{3} (θ) \cdot 1 = sin^{3} (θ)

= sin^{3} (θ)

= - \frac{3}{4} sin (θ) + sin^{3} (θ)

= - \frac{3}{4} sin (θ) + sin^{3} (θ)

= \frac{3}{4} sin (θ) - \frac{3}{4} sin (θ) + sin^{3} (θ)

Additionner les éléments similaires :

\frac{3}{4} sin (θ) - \frac{3}{4} sin (θ) = 0

\frac{3}{4} sin (θ) - \frac{3}{4} sin (θ)

Factoriser le terme commun

sin (θ)

= sin (θ) (\frac{3}{4} - \frac{3}{4})

\frac{3}{4} - \frac{3}{4} = 0

\frac{3}{4} - \frac{3}{4}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 - 3}{4}

Redéfinir

= 0

= 0

= sin^{3} (θ)

= sin^{3} (θ)

= sin^{3} (θ)

Nous avons démontré que les deux côtés pourraient avoir la même forme

\Rightarrow vrai

Exemples populaires

prouver tan^2(θ)+1=sec^2(θ)

p ro v e tan^{2} (θ) + 1 = sec^{2} (θ)

prouver (cos(x)sec(x))/(tan(x))=cot(x)

p ro v e \frac{cos ( x ) sec ( x )}{tan ( x )} = cot (x)

prouver (csc^2(t))/(cot(t))=csc(t)sec(t)

p ro v e \frac{csc ^{2} ( t )}{cot ( t )} = csc (t) sec (t)

prouver (2cos(2x))/(sin(2x))=cot(x)-tan(x)

p ro v e \frac{2 cos ( 2 x )}{sin ( 2 x )} = cot (x) - tan (x)

prouver cot^2(t)-cos^2(t)=cot^2(t)cos^2(t)

p ro v e cot^{2} (t) - cos^{2} (t) = cot^{2} (t) cos^{2} (t)