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beweisen tan(8θ)-tan(8θ)tan^2(4θ)=2tan(4θ)

Lösung

beweisen

tan (8 θ) - tan (8 θ) tan^{2} (4 θ) = 2 tan (4 θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

tan (8 θ) - tan (8 θ) tan^{2} (4 θ) = 2 tan (4 θ)

Manipuliere die linke Seite

tan (8 θ) - tan (8 θ) tan^{2} (4 θ)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

tan (8 θ) - tan (8 θ) tan^{2} (4 θ)

= tan (2 \cdot 4 θ) - tan (2 \cdot 4 θ) tan^{2} (4 θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

tan (2 x) = \frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

= \frac{2 tan ( 4 θ )}{1 - tan ^{2} ( 4 θ )} - \frac{2 tan ( 4 θ )}{1 - tan ^{2} ( 4 θ )} tan^{2} (4 θ)

Vereinfache

\frac{2 tan ( 4 θ )}{1 - tan ^{2} ( 4 θ )} - \frac{2 tan ( 4 θ )}{1 - tan ^{2} ( 4 θ )} tan^{2} (4 θ) : 2 tan (4 θ)

\frac{2 tan ( 4 θ )}{1 - tan ^{2} ( 4 θ )} - \frac{2 tan ( 4 θ )}{1 - tan ^{2} ( 4 θ )} tan^{2} (4 θ)

\frac{2 tan ( 4 θ )}{1 - tan ^{2} ( 4 θ )} tan^{2} (4 θ) = \frac{2 tan ^{3} ( 4 θ )}{1 - tan ^{2} ( 4 θ )}

\frac{2 tan ( 4 θ )}{1 - tan ^{2} ( 4 θ )} tan^{2} (4 θ)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 tan ( 4 θ ) tan ^{2} ( 4 θ )}{1 - tan ^{2} ( 4 θ )}

2 tan (4 θ) tan^{2} (4 θ) = 2 tan^{3} (4 θ)

2 tan (4 θ) tan^{2} (4 θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

tan (4 θ) tan^{2} (4 θ) = tan^{1 + 2} (4 θ)

= 2 tan^{1 + 2} (4 θ)

Addiere die Zahlen:

1 + 2 = 3

= 2 tan^{3} (4 θ)

= \frac{2 tan ^{3} ( 4 θ )}{1 - tan ^{2} ( 4 θ )}

= \frac{2 tan ( 4 θ )}{- tan ^{2} ( 4 θ ) + 1} - \frac{2 tan ^{3} ( 4 θ )}{- tan ^{2} ( 4 θ ) + 1}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 tan ( 4 θ ) - 2 tan ^{3} ( 4 θ )}{1 - tan ^{2} ( 4 θ )}

Faktorisiere

2 tan (4 θ) - 2 tan^{3} (4 θ) : 2 tan (4 θ) (1 - tan^{2} (4 θ))

2 tan (4 θ) - 2 tan^{3} (4 θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

tan^{3} (4 θ) = tan (4 θ) tan^{2} (4 θ)

= 2 tan (4 θ) - 2 tan (4 θ) tan^{2} (4 θ)

Schreibe um

= 1 \cdot 2 tan (4 θ) - 2 tan (4 θ) tan^{2} (4 θ)

Klammere gleiche Terme aus

2 tan (4 θ)

= 2 tan (4 θ) (1 - tan^{2} (4 θ))

= \frac{2 tan ( 4 θ ) ( 1 - tan ^{2} ( 4 θ ) )}{1 - tan ^{2} ( 4 θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

1 - tan^{2} (4 θ)

= 2 tan (4 θ)

= 2 tan (4 θ)

= 2 tan (4 θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e (tan (x) + cot (x))^{2} = sec^{2} (x) csc^{2} (x)

p ro v e \frac{cos ( θ )}{1 - sin ( θ )} = \frac{sin ( θ ) - csc ( θ )}{cos ( θ ) - cot ( θ )}

p ro v e \frac{cot ( θ ) sec ( θ )}{csc ( θ )} = 1

p ro v e sin^{2} (x) cos (x) sec (x) = 1 - cos^{2} (x)

p ro v e 6 sin (x) cos (x) = 3 sin (2 x)