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Beliebt Trigonometrie >

beweisen (cos(x))/(csc(x)+1)+(cos(x))/(csc(x)-1)=2tan(x)

Lösung

beweisen

\frac{cos ( x )}{csc ( x ) + 1} + \frac{cos ( x )}{csc ( x ) - 1} = 2 tan (x)

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{cos ( x )}{csc ( x ) + 1} + \frac{cos ( x )}{csc ( x ) - 1} = 2 tan (x)

Manipuliere die linke Seite

\frac{cos ( x )}{csc ( x ) + 1} + \frac{cos ( x )}{csc ( x ) - 1}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{cos ( x )}{- 1 + csc ( x )} + \frac{cos ( x )}{1 + csc ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x )}{- 1 + \frac{1}{s i n ( x )}} + \frac{cos ( x )}{1 + \frac{1}{s i n ( x )}}

Vereinfache

\frac{cos ( x )}{- 1 + \frac{1}{s i n ( x )}} + \frac{cos ( x )}{1 + \frac{1}{s i n ( x )}} : \frac{2 cos ( x ) sin ( x )}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

\frac{cos ( x )}{- 1 + \frac{1}{s i n ( x )}} + \frac{cos ( x )}{1 + \frac{1}{s i n ( x )}}

\frac{cos ( x )}{- 1 + \frac{1}{s i n ( x )}} = \frac{cos ( x ) sin ( x )}{- sin ( x ) + 1}

\frac{cos ( x )}{- 1 + \frac{1}{s i n ( x )}}

Füge

- 1 + \frac{1}{sin ( x )}

zusammen:

\frac{- sin ( x ) + 1}{sin ( x )}

- 1 + \frac{1}{sin ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ( x )}{sin ( x )}

= - \frac{1 \cdot sin ( x )}{sin ( x )} + \frac{1}{sin ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot sin ( x ) + 1}{sin ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= \frac{- sin ( x ) + 1}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x )}{\frac{- s i n ( x ) + 1}{s i n ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{cos ( x ) sin ( x )}{- sin ( x ) + 1}

\frac{cos ( x )}{1 + \frac{1}{s i n ( x )}} = \frac{cos ( x ) sin ( x )}{sin ( x ) + 1}

\frac{cos ( x )}{1 + \frac{1}{s i n ( x )}}

Füge

1 + \frac{1}{sin ( x )}

zusammen:

\frac{sin ( x ) + 1}{sin ( x )}

1 + \frac{1}{sin ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1 \cdot sin ( x )}{sin ( x )} + \frac{1}{sin ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ( x ) + 1}{sin ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= \frac{sin ( x ) + 1}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x )}{\frac{s i n ( x ) + 1}{s i n ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{cos ( x ) sin ( x )}{sin ( x ) + 1}

= \frac{cos ( x ) sin ( x )}{- sin ( x ) + 1} + \frac{cos ( x ) sin ( x )}{sin ( x ) + 1}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

- sin (x) + 1, sin (x) + 1 : (sin (x) + 1) (- sin (x) + 1)

- sin (x) + 1, sin (x) + 1

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die entweder in

- sin (x) + 1

oder

sin (x) + 1

auftauchen.

= (sin (x) + 1) (- sin (x) + 1)

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

(sin (x) + 1) (- sin (x) + 1)

Für

\frac{cos ( x ) sin ( x )}{- sin ( x ) + 1} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

sin (x) + 1

\frac{cos ( x ) sin ( x )}{- sin ( x ) + 1} = \frac{cos ( x ) sin ( x ) ( sin ( x ) + 1 )}{( - sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) + 1 )}

Für

\frac{cos ( x ) sin ( x )}{sin ( x ) + 1} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

- sin (x) + 1

\frac{cos ( x ) sin ( x )}{sin ( x ) + 1} = \frac{cos ( x ) sin ( x ) ( - sin ( x ) + 1 )}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

= \frac{cos ( x ) sin ( x ) ( sin ( x ) + 1 )}{( - sin ( x ) + 1 ) ( sin ( x ) + 1 )} + \frac{cos ( x ) sin ( x ) ( - sin ( x ) + 1 )}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( x ) sin ( x ) ( sin ( x ) + 1 ) + cos ( x ) sin ( x ) ( - sin ( x ) + 1 )}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

Multipliziere aus

cos (x) sin (x) (sin (x) + 1) + cos (x) sin (x) (- sin (x) + 1) : 2 cos (x) sin (x)

cos (x) sin (x) (sin (x) + 1) + cos (x) sin (x) (- sin (x) + 1)

Multipliziere aus

cos (x) sin (x) (sin (x) + 1) : sin^{2} (x) cos (x) + cos (x) sin (x)

cos (x) sin (x) (sin (x) + 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = cos (x) sin (x), b = sin (x), c = 1

= cos (x) sin (x) sin (x) + cos (x) sin (x) \cdot 1

= cos (x) sin (x) sin (x) + 1 \cdot cos (x) sin (x)

Vereinfache

cos (x) sin (x) sin (x) + 1 \cdot cos (x) sin (x) : sin^{2} (x) cos (x) + cos (x) sin (x)

cos (x) sin (x) sin (x) + 1 \cdot cos (x) sin (x)

cos (x) sin (x) sin (x) = sin^{2} (x) cos (x)

cos (x) sin (x) sin (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= cos (x) sin^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= cos (x) sin^{2} (x)

1 \cdot cos (x) sin (x) = cos (x) sin (x)

1 \cdot cos (x) sin (x)

Multipliziere:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= cos (x) sin (x)

= sin^{2} (x) cos (x) + cos (x) sin (x)

= sin^{2} (x) cos (x) + cos (x) sin (x)

= sin^{2} (x) cos (x) + cos (x) sin (x) + cos (x) sin (x) (- sin (x) + 1)

Multipliziere aus

cos (x) sin (x) (- sin (x) + 1) : - sin^{2} (x) cos (x) + cos (x) sin (x)

cos (x) sin (x) (- sin (x) + 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = cos (x) sin (x), b = - sin (x), c = 1

= cos (x) sin (x) (- sin (x)) + cos (x) sin (x) \cdot 1

Wende Minus-Plus Regeln an

+ (- a) = - a

= - cos (x) sin (x) sin (x) + 1 \cdot cos (x) sin (x)

Vereinfache

- cos (x) sin (x) sin (x) + 1 \cdot cos (x) sin (x) : - sin^{2} (x) cos (x) + cos (x) sin (x)

- cos (x) sin (x) sin (x) + 1 \cdot cos (x) sin (x)

cos (x) sin (x) sin (x) = sin^{2} (x) cos (x)

cos (x) sin (x) sin (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= cos (x) sin^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= cos (x) sin^{2} (x)

1 \cdot cos (x) sin (x) = cos (x) sin (x)

1 \cdot cos (x) sin (x)

Multipliziere:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= cos (x) sin (x)

= - sin^{2} (x) cos (x) + cos (x) sin (x)

= - sin^{2} (x) cos (x) + cos (x) sin (x)

= sin^{2} (x) cos (x) + cos (x) sin (x) - sin^{2} (x) cos (x) + cos (x) sin (x)

Vereinfache

sin^{2} (x) cos (x) + cos (x) sin (x) - sin^{2} (x) cos (x) + cos (x) sin (x) : 2 cos (x) sin (x)

sin^{2} (x) cos (x) + cos (x) sin (x) - sin^{2} (x) cos (x) + cos (x) sin (x)

Addiere gleiche Elemente:

sin^{2} (x) cos (x) - sin^{2} (x) cos (x) = 0

= cos (x) sin (x) + cos (x) sin (x)

Addiere gleiche Elemente:

cos (x) sin (x) + cos (x) sin (x) = 2 cos (x) sin (x)

= 2 cos (x) sin (x)

= 2 cos (x) sin (x)

= \frac{2 cos ( x ) sin ( x )}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

= \frac{2 cos ( x ) sin ( x )}{( sin ( x ) + 1 ) ( - sin ( x ) + 1 )}

= \frac{2 cos ( x ) sin ( x )}{( 1 + sin ( x ) ) ( 1 - sin ( x ) )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{2 cos ( x ) sin ( x )}{( 1 + sin ( x ) ) ( 1 - sin ( x ) )}

Multipliziere aus

(1 + sin (x)) (1 - sin (x)) : 1 - sin^{2} (x)

(1 + sin (x)) (1 - sin (x))

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 1, b = sin (x)

= 1^{2} - sin^{2} (x)

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - sin^{2} (x)

= \frac{2 cos ( x ) sin ( x )}{1 - sin ^{2} ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{2 cos ( x ) sin ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (x)

= \frac{2 sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{2 sin ( x )}{cos ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 2 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

2 tan (x)

2 tan (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen (cos(x)csc(x))/(cot^2(x))=tan(x)

p ro v e \frac{cos ( x ) csc ( x )}{cot ^{2} ( x )} = tan (x)

beweisen cot(pi/2-u)=tan(u)

p ro v e cot (\frac{π}{2} - u) = tan (u)

beweisen (sec^4(x)-1)/(tan^2(x))=tan^2(x)+2

p ro v e \frac{sec ^{4} ( x ) - 1}{tan ^{2} ( x )} = tan^{2} (x) + 2

beweisen tan^2(x)-sec^2(x)=-1

p ro v e tan^{2} (x) - sec^{2} (x) = - 1

beweisen cos(-θ)=cos(θ)

p ro v e cos (- θ) = cos (θ)