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provar sec(x)-(cos(x))/(1+sin(x))=tan(x)

Solução

provar

sec (x) - \frac{cos ( x )}{1 + sin ( x )} = tan (x)

Verdadeiro

Passos da solução

sec (x) - \frac{cos ( x )}{1 + sin ( x )} = tan (x)

Manipular o lado direito

sec (x) - \frac{cos ( x )}{1 + sin ( x )}

Expresar com seno, cosseno

- \frac{cos ( x )}{1 + sin ( x )} + sec (x)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= - \frac{cos ( x )}{1 + sin ( x )} + \frac{1}{cos ( x )}

Simplificar

- \frac{cos ( x )}{1 + sin ( x )} + \frac{1}{cos ( x )} : \frac{- cos ^{2} ( x ) + sin ( x ) + 1}{cos ( x ) ( sin ( x ) + 1 )}

- \frac{cos ( x )}{1 + sin ( x )} + \frac{1}{cos ( x )}

Mínimo múltiplo comum de

1 + sin (x), cos (x) : cos (x) (sin (x) + 1)

1 + sin (x), cos (x)

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Calcular uma expressão que seja composta por fatores que estejam presentes tanto em

1 + sin (x)

quanto em

cos (x)

= cos (x) (sin (x) + 1)

Reescrever as frações baseando-se no mínimo múltiplo comum

Multiplicar cada numerador pelo mesmo valor necessário para multiplicar seu denominador correspondente para convertê-lo no mínimo múltiplo comum

Para

\frac{cos ( x )}{1 + sin ( x )} :

multiplique o numerador e o denominador por

cos (x)

\frac{cos ( x )}{1 + sin ( x )} = \frac{cos ( x ) cos ( x )}{( 1 + sin ( x ) ) cos ( x )} = \frac{cos ^{2} ( x )}{cos ( x ) ( sin ( x ) + 1 )}

Para

\frac{1}{cos ( x )} :

multiplique o numerador e o denominador por

sin (x) + 1

\frac{1}{cos ( x )} = \frac{1 \cdot ( sin ( x ) + 1 )}{cos ( x ) ( sin ( x ) + 1 )} = \frac{sin ( x ) + 1}{cos ( x ) ( sin ( x ) + 1 )}

= - \frac{cos ^{2} ( x )}{cos ( x ) ( sin ( x ) + 1 )} + \frac{sin ( x ) + 1}{cos ( x ) ( sin ( x ) + 1 )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- cos ^{2} ( x ) + sin ( x ) + 1}{cos ( x ) ( sin ( x ) + 1 )}

= \frac{- cos ^{2} ( x ) + sin ( x ) + 1}{cos ( x ) ( sin ( x ) + 1 )}

= \frac{1 - cos ^{2} ( x ) + sin ( x )}{( 1 + sin ( x ) ) cos ( x )}

Reeecreva usando identidades trigonométricas

\frac{1 - cos ^{2} ( x ) + sin ( x )}{( 1 + sin ( x ) ) cos ( x )}

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( x ) + sin ( x )}{( 1 + sin ( x ) ) cos ( x )}

Simplificar

\frac{sin ^{2} ( x ) + sin ( x )}{( 1 + sin ( x ) ) cos ( x )} : \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

\frac{sin ^{2} ( x ) + sin ( x )}{( 1 + sin ( x ) ) cos ( x )}

Fatorar

sin^{2} (x) + sin (x) : sin (x) (sin (x) + 1)

sin^{2} (x) + sin (x)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

sin^{2} (x) = sin (x) sin (x)

= sin (x) sin (x) + sin (x)

Fatorar o termo comum

sin (x)

= sin (x) (sin (x) + 1)

= \frac{sin ( x ) ( sin ( x ) + 1 )}{( 1 + sin ( x ) ) cos ( x )}

Eliminar o fator comum:

sin (x) + 1

= \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

= tan (x)

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

p ro v e sin (θ) (csc (θ) - sin (θ)) = cos^{2} (θ)

p ro v e sec (y) cos (y) = 1

p ro v e csc (x) - sin (x) = cos (x) \cdot cot (x)

p ro v e \frac{sec ^{2} ( θ )}{tan ( θ )} = sec (θ) csc (θ)

p ro v e cos (x) + tan (x) sin (x) = sec (x)