English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Popolare >

dimostrare sec(x)-(cos(x))/(1+sin(x))=tan(x)

Soluzione

dimostrare

sec (x) - \frac{cos ( x )}{1 + sin ( x )} = tan (x)

Vero

Fasi della soluzione

sec (x) - \frac{cos ( x )}{1 + sin ( x )} = tan (x)

Manipolando il lato sinistro

sec (x) - \frac{cos ( x )}{1 + sin ( x )}

Esprimere con sen e cos

- \frac{cos ( x )}{1 + sin ( x )} + sec (x)

Usare l'identità trigonometrica di base:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= - \frac{cos ( x )}{1 + sin ( x )} + \frac{1}{cos ( x )}

Semplifica

- \frac{cos ( x )}{1 + sin ( x )} + \frac{1}{cos ( x )} : \frac{- cos ^{2} ( x ) + sin ( x ) + 1}{cos ( x ) ( sin ( x ) + 1 )}

- \frac{cos ( x )}{1 + sin ( x )} + \frac{1}{cos ( x )}

Minimo Comune Multiplo di

1 + sin (x), cos (x) : cos (x) (sin (x) + 1)

1 + sin (x), cos (x)

Minimo comune multiplo (mcm)

Calcolo di un'espressione composta da fattori che compaiono in

1 + sin (x)

cos (x)

= cos (x) (sin (x) + 1)

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

cos (x) (sin (x) + 1)

Per

\frac{cos ( x )}{1 + sin ( x )} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

cos (x)

\frac{cos ( x )}{1 + sin ( x )} = \frac{cos ( x ) cos ( x )}{( 1 + sin ( x ) ) cos ( x )} = \frac{cos ^{2} ( x )}{cos ( x ) ( sin ( x ) + 1 )}

Per

\frac{1}{cos ( x )} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

sin (x) + 1

\frac{1}{cos ( x )} = \frac{1 \cdot ( sin ( x ) + 1 )}{cos ( x ) ( sin ( x ) + 1 )} = \frac{sin ( x ) + 1}{cos ( x ) ( sin ( x ) + 1 )}

= - \frac{cos ^{2} ( x )}{cos ( x ) ( sin ( x ) + 1 )} + \frac{sin ( x ) + 1}{cos ( x ) ( sin ( x ) + 1 )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- cos ^{2} ( x ) + sin ( x ) + 1}{cos ( x ) ( sin ( x ) + 1 )}

= \frac{- cos ^{2} ( x ) + sin ( x ) + 1}{cos ( x ) ( sin ( x ) + 1 )}

= \frac{1 - cos ^{2} ( x ) + sin ( x )}{( 1 + sin ( x ) ) cos ( x )}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

\frac{1 - cos ^{2} ( x ) + sin ( x )}{( 1 + sin ( x ) ) cos ( x )}

Usa l'identità pitagorica:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( x ) + sin ( x )}{( 1 + sin ( x ) ) cos ( x )}

Semplifica

\frac{sin ^{2} ( x ) + sin ( x )}{( 1 + sin ( x ) ) cos ( x )} : \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

\frac{sin ^{2} ( x ) + sin ( x )}{( 1 + sin ( x ) ) cos ( x )}

Fattorizza

sin^{2} (x) + sin (x) : sin (x) (sin (x) + 1)

sin^{2} (x) + sin (x)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

sin^{2} (x) = sin (x) sin (x)

= sin (x) sin (x) + sin (x)

Fattorizzare dal termine comune

sin (x)

= sin (x) (sin (x) + 1)

= \frac{sin ( x ) ( sin ( x ) + 1 )}{( 1 + sin ( x ) ) cos ( x )}

Cancella il fattore comune:

sin (x) + 1

= \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Usare l'identità trigonometrica di base:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

= tan (x)

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

tan (x) + cot (x) = (sec (x)) (csc (x))

sin (x) + sin (x) tan^{2} (x) = tan (x) sec (x)

sin (θ) (csc (θ) - sin (θ)) = cos^{2} (θ)

sec (y) cos (y) = 1

csc (x) - sin (x) = cos (x) \cdot cot (x)