beweisen (cos(x)-sin(x))^2=1-sin(2x)

Lösung

beweisen

(cos (x) - sin (x))^{2} = 1 - sin (2 x)

Wahr

Schritte zur Lösung

(cos (x) - sin (x))^{2} = 1 - sin (2 x)

Manipuliere die linke Seite

(cos (x) - sin (x))^{2}

Multipliziere aus

(cos (x) - sin (x))^{2} : cos^{2} (x) - 2 cos (x) sin (x) + sin^{2} (x)

(cos (x) - sin (x))^{2}

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = cos (x), b = sin (x)

= cos^{2} (x) - 2 cos (x) sin (x) + sin^{2} (x)

= cos^{2} (x) + sin^{2} (x) - 2 cos (x) sin (x)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) - 2 cos (x) sin (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

= cos^{2} (x) + sin^{2} (x) - sin (2 x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= 1 - sin (2 x)

= 1 - sin (2 x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e cos^{2} (a) - sin^{2} (a) = 1 - 2 sin^{2} (a)

p ro v e tan (u) cot (u) - sin^{2} (u) = cos^{2} (u)

p ro v e sin (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

p ro v e 1 - cot (x) = (csc^{2} (x) - 2 cot (x))

p ro v e cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}