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人気のある三角関数 >

証明する (1-cos(x))/(sin(x))=tan(x/2)

解

証明する

\frac{1 - cos ( x )}{sin ( x )} = tan (\frac{x}{2})

解

真

解答ステップ

\frac{1 - cos ( x )}{sin ( x )} = tan (\frac{x}{2})

仮定:

u = \frac{x}{2}

\frac{1 - cos ( 2 u )}{sin ( 2 u )} = tan (u)

以下を証明する

\frac{1 - cos ( 2 u )}{sin ( 2 u )} = tan (u) :

真

\frac{1 - cos ( 2 u )}{sin ( 2 u )} = tan (u)

左側を操作する

\frac{1 - cos ( 2 u )}{sin ( 2 u )}

三角関数の公式を使用して書き換える

\frac{1 - cos ( 2 u )}{sin ( 2 u )}

2倍角の公式を使用:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= \frac{1 - cos ( 2 u )}{2 sin ( u ) cos ( u )}

2倍角の公式を使用:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= \frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}{2 sin ( u ) cos ( u )}

簡素化

\frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}{2 sin ( u ) cos ( u )} : \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

\frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}{2 sin ( u ) cos ( u )}

拡張

1 - (1 - 2 sin^{2} (u)) : 2 sin^{2} (u)

1 - (1 - 2 sin^{2} (u))

- (1 - 2 sin^{2} (u)) : - 1 + 2 sin^{2} (u)

- (1 - 2 sin^{2} (u))

括弧を分配する

= - (1) - (- 2 sin^{2} (u))

マイナス・プラスの規則を適用する

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 sin^{2} (u)

= 1 - 1 + 2 sin^{2} (u)

1 - 1 = 0

= 2 sin^{2} (u)

= \frac{2 sin ^{2} ( u )}{2 sin ( u ) cos ( u )}

数を割る:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{sin ^{2} ( u )}{sin ( u ) cos ( u )}

共通因数を約分する:

sin (u)

= \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

= \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

= \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

基本的な三角関数の公式を使用する:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

= tan (u)

両辺を同じ形式にできることを証明した

\Rightarrow 真

このため

\frac{1 - cos ( x )}{sin ( x )} = tan (\frac{x}{2})

両辺を同じ形式にできることを証明した

\Rightarrow 真

人気の例

証明する cos(4θ)=8cos^4(θ)-8cos^2(θ)+1

p ro v e cos (4 θ) = 8 cos^{4} (θ) - 8 cos^{2} (θ) + 1

証明する 1-2cos^2(x)=2sin^2(x)-1

p ro v e 1 - 2 cos^{2} (x) = 2 sin^{2} (x) - 1

証明する sin(2A)=2sin(A)cos(A)

p ro v e sin (2 A) = 2 sin (A) cos (A)

証明する tan(A-B)=sin(A-B)sec(A-B)

p ro v e tan (A - B) = sin (A - B) sec (A - B)

証明する cot^2(θ)(1-cos^2(θ))=cos^2(θ)

p ro v e cot^{2} (θ) (1 - cos^{2} (θ)) = cos^{2} (θ)