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beweisen (tan^2(θ))/(sin^2(θ))-1=tan^2(θ)

Lösung

beweisen

\frac{tan ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} - 1 = tan^{2} (θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{tan ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} - 1 = tan^{2} (θ)

Manipuliere die linke Seite

\frac{tan ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} - 1

Drücke mit sin, cos aus

- 1 + \frac{tan ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= - 1 + \frac{( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{sin ^{2} ( θ )}

Vereinfache

- 1 + \frac{( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{sin ^{2} ( θ )} : \frac{- cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ )}

- 1 + \frac{( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{sin ^{2} ( θ )}

\frac{( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{sin ^{2} ( θ )} = \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

\frac{( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}}{sin ^{2} ( θ )}

(\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2} = \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

(\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{\frac{s i n ^{2} ( θ )}{c o s ^{2} ( θ )}}{sin ^{2} ( θ )}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin^{2} (θ)

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

= - 1 + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= - \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (θ) = cos^{2} (θ)

= \frac{- cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{- cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{1 - cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1 - cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} \cdot \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

\frac{sin ( θ ) tan ( θ )}{cos ( θ )}

= tan (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

tan (θ) tan (θ)

Vereinfache

tan (θ) tan (θ) : tan^{2} (θ)

tan (θ) tan (θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

tan (θ) tan (θ) = tan^{1 + 1} (θ)

= tan^{1 + 1} (θ)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= tan^{2} (θ)

tan^{2} (θ)

tan^{2} (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e csc (θ) cos^{2} (θ) + sin (θ) = csc (θ)

p ro v e sec (θ + \frac{π}{2}) = csc (θ)

p ro v e \frac{1 + csc ( θ )}{sec ( θ )} - cot (θ) = cos (θ)

p ro v e sin (2 θ) = \frac{2 cot ( θ )}{1 + cot ^{2} ( θ )}

p ro v e tan (θ) = \frac{1 - cos ( 2 θ )}{sin ( 2 θ )}