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beweisen (sec(x)-tan(x))(1+sin(x))=cos(x)

Lösung

beweisen

(sec (x) - tan (x)) (1 + sin (x)) = cos (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

(sec (x) - tan (x)) (1 + sin (x)) = cos (x)

Manipuliere die linke Seite

(sec (x) - tan (x)) (1 + sin (x))

Drücke mit sin, cos aus

(1 + sin (x)) (sec (x) - tan (x))

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= (1 + sin (x)) (\frac{1}{cos ( x )} - tan (x))

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= (1 + sin (x)) (\frac{1}{cos ( x )} - \frac{sin ( x )}{cos ( x )})

Vereinfache

(1 + sin (x)) (\frac{1}{cos ( x )} - \frac{sin ( x )}{cos ( x )}) : \frac{( 1 - sin ( x ) ) ( 1 + sin ( x ) )}{cos ( x )}

(1 + sin (x)) (\frac{1}{cos ( x )} - \frac{sin ( x )}{cos ( x )})

Vereinfache

\frac{1}{cos ( x )} - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{- sin ( x ) + 1}{cos ( x )}

\frac{1}{cos ( x )} - \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{- sin ( x ) + 1}{cos ( x )} (sin (x) + 1)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 1 - sin ( x ) ) ( 1 + sin ( x ) )}{cos ( x )}

= \frac{( 1 - sin ( x ) ) ( 1 + sin ( x ) )}{cos ( x )}

= \frac{( 1 + sin ( x ) ) ( 1 - sin ( x ) )}{cos ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{( 1 + sin ( x ) ) ( 1 - sin ( x ) )}{cos ( x )}

Multipliziere aus

(1 + sin (x)) (1 - sin (x)) : 1 - sin^{2} (x)

(1 + sin (x)) (1 - sin (x))

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 1, b = sin (x)

= 1^{2} - sin^{2} (x)

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - sin^{2} (x)

= \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x )}{cos ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (x)

= cos (x)

= cos (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e tan (- x) = cos (x)

p ro v e cos (4 5^{\circ} - x) = cos (x - 4 5^{\circ})

p ro v e \frac{1 - csc ^{2} ( A )}{csc ^{2} ( A )} = - cos^{2} (A)

p ro v e sin^{0.5} (x) cos (x) - sin^{2.5} (x) cos (x) = cos^{3} (x) sin (x)

p ro v e sin (\frac{2 π}{3}) = \frac{3}{2}