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Beliebt Trigonometrie >

beweisen (1+sec(x))/(csc(x))=sin(x)+tan(x)

Lösung

beweisen

\frac{1 + sec ( x )}{csc ( x )} = sin (x) + tan (x)

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{1 + sec ( x )}{csc ( x )} = sin (x) + tan (x)

Manipuliere die rechte Seite

sin (x) + tan (x)

Drücke mit sin, cos aus

sin (x) + tan (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= sin (x) + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Vereinfache

sin (x) + \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{sin ( x ) cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )}

sin (x) + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

sin (x) = \frac{sin ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x ) cos ( x )}{cos ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( x ) cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x ) cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x ) + cos ( x ) sin ( x )}{cos ( x )}

Faktorisiere

\frac{sin ( x ) + cos ( x ) sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{sin ( x ) ( 1 + cos ( x ) )}{cos ( x )}

\frac{sin ( x ) + cos ( x ) sin ( x )}{cos ( x )}

Faktorisiere

sin (x) + cos (x) sin (x) : sin (x) (1 + cos (x))

sin (x) + cos (x) sin (x)

Klammere gleiche Terme aus

sin (x)

= sin (x) (1 + cos (x))

= \frac{sin ( x ) ( cos ( x ) + 1 )}{cos ( x )}

= \frac{( 1 + cos ( x ) ) sin ( x )}{cos ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{( 1 + cos ( x ) ) \frac{1}{c s c ( x )}}{cos ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{( 1 + \frac{1}{s e c ( x )} ) \frac{1}{c s c ( x )}}{\frac{1}{s e c ( x )}}

Vereinfache

\frac{( 1 + \frac{1}{s e c ( x )} ) \frac{1}{c s c ( x )}}{\frac{1}{s e c ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( 1 + \frac{1}{s e c ( x )} ) \frac{1}{c s c ( x )} sec ( x )}{1}

Füge

1 + \frac{1}{sec ( x )}

zusammen:

\frac{sec ( x ) + 1}{sec ( x )}

1 + \frac{1}{sec ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sec ( x )}{sec ( x )}

= \frac{1 \cdot sec ( x )}{sec ( x )} + \frac{1}{sec ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sec ( x ) + 1}{sec ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot sec (x) = sec (x)

= \frac{sec ( x ) + 1}{sec ( x )}

= \frac{\frac{s e c ( x ) + 1}{s e c ( x )} \cdot \frac{1}{c s c ( x )} sec ( x )}{1}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{1} = a

= \frac{sec ( x ) + 1}{sec ( x )} \cdot \frac{1}{csc ( x )} sec (x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{d}{e} = \frac{a \cdot b \cdot d}{c \cdot e}

= \frac{( sec ( x ) + 1 ) \cdot 1 \cdot sec ( x )}{sec ( x ) csc ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sec (x)

= \frac{( sec ( x ) + 1 ) \cdot 1}{csc ( x )}

(sec (x) + 1) \cdot 1 = sec (x) + 1

(sec (x) + 1) \cdot 1

Multipliziere:

(sec (x) + 1) \cdot 1 = (sec (x) + 1)

= (sec (x) + 1)

Entferne die Klammern:

(a) = a

= sec (x) + 1

= \frac{sec ( x ) + 1}{csc ( x )}

\frac{sec ( x ) + 1}{csc ( x )}

\frac{sec ( x ) + 1}{csc ( x )}

= \frac{1 + sec ( x )}{csc ( x )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen (cot(x))(sec(x))(sin(x))=1

p ro v e (cot (x)) (sec (x)) (sin (x)) = 1

beweisen (cos(a))/(1-sin(a))-tan(a)=sec(a)

p ro v e \frac{cos ( a )}{1 - sin ( a )} - tan (a) = sec (a)

beweisen tan(θ/2)+cot(θ/2)=2csc(θ)

p ro v e tan (\frac{θ}{2}) + cot (\frac{θ}{2}) = 2 csc (θ)

beweisen sin^2(2θ)=4sin^2(θ)cos^2(θ)

p ro v e sin^{2} (2 θ) = 4 sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

beweisen (cos(4x)+cos(6x))/(sin(4x)-sin(6x))=-cot(x)

p ro v e \frac{cos ( 4 x ) + cos ( 6 x )}{sin ( 4 x ) - sin ( 6 x )} = - cot (x)