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provar tan(θ)=csc(θ)sec(θ)-cot(θ)

Solução

provar

tan (θ) = csc (θ) sec (θ) - cot (θ)

Verdadeiro

Passos da solução

tan (θ) = csc (θ) sec (θ) - cot (θ)

Manipular o lado esquerdo

csc (θ) sec (θ) - cot (θ)

Expresar com seno, cosseno

- cot (θ) + csc (θ) sec (θ)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= - \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + csc (θ) sec (θ)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= - \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{1}{sin ( θ )} sec (θ)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= - \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{1}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{cos ( θ )}

Simplificar

- \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{1}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{cos ( θ )} : \frac{- cos ^{2} ( θ ) + 1}{sin ( θ ) cos ( θ )}

- \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{1}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{cos ( θ )}

\frac{1}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{cos ( θ )} = \frac{1}{sin ( θ ) cos ( θ )}

\frac{1}{sin ( θ )} \cdot \frac{1}{cos ( θ )}

Multiplicar frações:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot 1}{sin ( θ ) cos ( θ )}

Multiplicar os números:

1 \cdot 1 = 1

= \frac{1}{sin ( θ ) cos ( θ )}

= - \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{1}{sin ( θ ) cos ( θ )}

Mínimo múltiplo comum de

sin (θ), sin (θ) cos (θ) : sin (θ) cos (θ)

sin (θ), sin (θ) cos (θ)

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Calcular uma expressão que seja composta por fatores que estejam presentes tanto em

sin (θ)

quanto em

sin (θ) cos (θ)

= sin (θ) cos (θ)

Reescrever as frações baseando-se no mínimo múltiplo comum

Multiplicar cada numerador pelo mesmo valor necessário para multiplicar seu denominador correspondente para convertê-lo no mínimo múltiplo comum

Para

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} :

multiplique o numerador e o denominador por

cos (θ)

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} = \frac{cos ( θ ) cos ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )} = \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

= - \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )} + \frac{1}{sin ( θ ) cos ( θ )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- cos ^{2} ( θ ) + 1}{sin ( θ ) cos ( θ )}

= \frac{- cos ^{2} ( θ ) + 1}{sin ( θ ) cos ( θ )}

= \frac{1 - cos ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

Reeecreva usando identidades trigonométricas

\frac{1 - cos ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

Eliminar o fator comum:

sin (θ)

= \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

= tan (θ)

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

p ro v e sec (x) - sec (x) sin (x^{2}) = cos (x^{2})

p ro v e (1 + cot^{2} (x)) = \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

p ro v e sin (x) (1 + csc (x)) = 1 + sin (x)

p ro v e (sec^{2} (θ) - 1) (sin^{2} (θ) - 1) = - sin^{2} (θ)

p ro v e csc (θ) = \frac{tan ( θ ) cot ( θ )}{sin ( θ )}