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sin(3x)cos(3x)-1/4 >= 0

Solución

sin (3 x) cos (3 x) - \frac{1}{4} \geq 0

Solución

\frac{π}{36} + \frac{π}{3} n \leq x \leq \frac{5 π}{36} + \frac{π}{3} n

Notación de intervalos

[\frac{π}{36} + \frac{π}{3} n, \frac{5 π}{36} + \frac{π}{3} n]

Notación decimal

0.08726 \dots + \frac{π}{3} n \leq x \leq 0.43633 \dots + \frac{π}{3} n

Pasos de solución

sin (3 x) cos (3 x) - \frac{1}{4} \geq 0

Usar la siguiente identidad:

2 cos (x) sin (x) = sin (2 x)

Por lo tanto

cos (x) sin (x) = \frac{sin ( 2 x )}{2}

- \frac{1}{4} + \frac{sin ( 2 \cdot 3 x )}{2} \geq 0

Simplificar

- \frac{1}{4} + \frac{sin ( 2 \cdot 3 x )}{2} : - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} sin (6 x)

- \frac{1}{4} + \frac{sin ( 2 \cdot 3 x )}{2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 3 = 6

= - \frac{1}{4} + \frac{sin ( 6 x )}{2}

= - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} sin (6 x)

- \frac{1}{4} + \frac{1}{2} sin (6 x) \geq 0

Mover

\frac{1}{4}

al lado derecho

- \frac{1}{4} + \frac{1}{2} sin (6 x) \geq 0

Sumar

\frac{1}{4}

a ambos lados

- \frac{1}{4} + \frac{1}{2} sin (6 x) + \frac{1}{4} \geq 0 + \frac{1}{4}

Simplificar

\frac{1}{2} sin (6 x) \geq \frac{1}{4}

\frac{1}{2} sin (6 x) \geq \frac{1}{4}

Multiplicar ambos lados por

2

\frac{1}{2} sin (6 x) \geq \frac{1}{4}

Multiplicar ambos lados por

2

2 \cdot \frac{1}{2} sin (6 x) \geq \frac{1 \cdot 2}{4}

Simplificar

2 \cdot \frac{1}{2} sin (6 x) \geq \frac{1 \cdot 2}{4}

Simplificar

2 \cdot \frac{1}{2} sin (6 x) : sin (6 x)

2 \cdot \frac{1}{2} sin (6 x)

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2} sin (6 x)

Eliminar los terminos comunes:

2

= sin (6 x) \cdot 1

Multiplicar:

sin (6 x) \cdot 1 = sin (6 x)

= sin (6 x)

Simplificar

\frac{1 \cdot 2}{4} : \frac{1}{2}

\frac{1 \cdot 2}{4}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{4}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{1}{2}

sin (6 x) \geq \frac{1}{2}

sin (6 x) \geq \frac{1}{2}

sin (6 x) \geq \frac{1}{2}

Para

sin (x) \geq a

, si

- 1 < a < 1

entonces

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq 6 x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

a \leq u \leq b

entonces

a \leq u and u \leq b

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq 6 x and 6 x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq 6 x : x \geq \frac{π}{36} + \frac{πn}{3}

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq 6 x

Intercambiar lados

6 x \geq arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Simplificar

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn : \frac{π}{6} + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6} + 2 πn

6 x \geq \frac{π}{6} + 2 πn

Dividir ambos lados entre

6

6 x \geq \frac{π}{6} + 2 πn

Dividir ambos lados entre

6

\frac{6 x}{6} \geq \frac{\frac{π}{6}}{6} + \frac{2 πn}{6}

Simplificar

\frac{6 x}{6} \geq \frac{\frac{π}{6}}{6} + \frac{2 πn}{6}

Simplificar

\frac{6 x}{6} : x

\frac{6 x}{6}

Dividir:

\frac{6}{6} = 1

= x

Simplificar

\frac{\frac{π}{6}}{6} + \frac{2 πn}{6} : \frac{π}{36} + \frac{πn}{3}

\frac{\frac{π}{6}}{6} + \frac{2 πn}{6}

\frac{\frac{π}{6}}{6} = \frac{π}{36}

\frac{\frac{π}{6}}{6}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{6 \cdot 6}

Multiplicar los numeros:

6 \cdot 6 = 36

= \frac{π}{36}

\frac{2 πn}{6} = \frac{πn}{3}

\frac{2 πn}{6}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{πn}{3}

= \frac{π}{36} + \frac{πn}{3}

x \geq \frac{π}{36} + \frac{πn}{3}

x \geq \frac{π}{36} + \frac{πn}{3}

x \geq \frac{π}{36} + \frac{πn}{3}

6 x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn : x \leq \frac{5 π}{36} + \frac{π}{3} n

6 x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Simplificar

π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn : π - \frac{π}{6} + 2 πn

π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Utilizar la siguiente identidad trivial:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{6} + 2 πn

6 x \leq π - \frac{π}{6} + 2 πn

Dividir ambos lados entre

6

6 x \leq π - \frac{π}{6} + 2 πn

Dividir ambos lados entre

6

\frac{6 x}{6} \leq \frac{π}{6} - \frac{\frac{π}{6}}{6} + \frac{2 πn}{6}

Simplificar

\frac{6 x}{6} \leq \frac{π}{6} - \frac{\frac{π}{6}}{6} + \frac{2 πn}{6}

Simplificar

\frac{6 x}{6} : x

\frac{6 x}{6}

Dividir:

\frac{6}{6} = 1

= x

Simplificar

\frac{π}{6} - \frac{\frac{π}{6}}{6} + \frac{2 πn}{6} : \frac{π}{6} - \frac{π}{36} + \frac{πn}{3}

\frac{π}{6} - \frac{\frac{π}{6}}{6} + \frac{2 πn}{6}

\frac{\frac{π}{6}}{6} = \frac{π}{36}

\frac{\frac{π}{6}}{6}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{6 \cdot 6}

Multiplicar los numeros:

6 \cdot 6 = 36

= \frac{π}{36}

\frac{2 πn}{6} = \frac{πn}{3}

\frac{2 πn}{6}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{πn}{3}

= \frac{π}{6} - \frac{π}{36} + \frac{πn}{3}

x \leq \frac{π}{6} - \frac{π}{36} + \frac{πn}{3}

x \leq \frac{π}{6} - \frac{π}{36} + \frac{πn}{3}

Simplificar

\frac{π}{6} - \frac{π}{36} : \frac{5 π}{36}

\frac{π}{6} - \frac{π}{36}

Mínimo común múltiplo de

6, 36 : 36

6, 36

Mínimo común múltiplo (MCM)

Descomposición en factores primos de

6 : 2 \cdot 3

6

6

divida por

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 3

2, 3

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 3

Descomposición en factores primos de

36 : 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

36

36

divida por

236 = 18 \cdot 2

= 2 \cdot 18

18

divida por

218 = 9 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 9

9

divida por

39 = 3 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

2, 3

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

Multiplicar cada factor el mayor número de veces que ocurra en cualquier

6

36

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 36

= 36

Reescribir las fracciones basandose en el mínimo común denominador

Multiplicar cada numerador por la misma cantidad necesaria para multiplicar el denominador correspondiente y convertirlo en el mínimo común denominador

Para

\frac{π}{6} :

multiplicar el denominador y el numerador por

6

\frac{π}{6} = \frac{π 6}{6 \cdot 6} = \frac{π 6}{36}

= \frac{π 6}{36} - \frac{π}{36}

Ya que los denominadores son iguales, combinar las fracciones:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 6 - π}{36}

Sumar elementos similares:

6 π - π = 5 π

= \frac{5 π}{36}

x \leq \frac{5 π}{36} + \frac{π}{3} n

x \leq \frac{5 π}{36} + \frac{π}{3} n

Combinar los rangos

x \geq \frac{π}{36} + \frac{πn}{3} and x \leq \frac{5 π}{36} + \frac{π}{3} n

Mezclar intervalos sobrepuestos

\frac{π}{36} + \frac{π}{3} n \leq x \leq \frac{5 π}{36} + \frac{π}{3} n

Ejemplos populares

sin(x)+sqrt(3)cos(x)>0

sin (x) + 3 cos (x) > 0

tan(x)<-1

tan (x) < - 1

sin(x)<(sqrt(3))/2

sin (x) < \frac{3}{2}

(tan(x)+1)(tan(x)+2)+2tan(x)+2>= 0

(tan (x) + 1) (tan (x) + 2) + 2 tan (x) + 2 \geq 0

sin(x+pi/4)<= 1/2

sin (x + \frac{π}{4}) \leq \frac{1}{2}