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Beliebt Trigonometrie >

sin(3x)cos(3x)-1/4 >0

Lösung

sin (3 x) cos (3 x) - \frac{1}{4} > 0

Lösung

\frac{π}{36} + \frac{π}{3} n < x < \frac{5 π}{36} + \frac{π}{3} n

Intervall-Notation

(\frac{π}{36} + \frac{π}{3} n, \frac{5 π}{36} + \frac{π}{3} n)

Dezimale

0.08726 \dots + \frac{π}{3} n < x < 0.43633 \dots + \frac{π}{3} n

Schritte zur Lösung

sin (3 x) cos (3 x) - \frac{1}{4} > 0

Verwende die folgenden Identitäten:

2 cos (x) sin (x) = sin (2 x)

Deshalb

cos (x) sin (x) = \frac{sin ( 2 x )}{2}

- \frac{1}{4} + \frac{sin ( 2 \cdot 3 x )}{2} > 0

Vereinfache

- \frac{1}{4} + \frac{sin ( 2 \cdot 3 x )}{2} : - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} sin (6 x)

- \frac{1}{4} + \frac{sin ( 2 \cdot 3 x )}{2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= - \frac{1}{4} + \frac{sin ( 6 x )}{2}

= - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} sin (6 x)

- \frac{1}{4} + \frac{1}{2} sin (6 x) > 0

Verschiebe

\frac{1}{4}

auf die rechte Seite

- \frac{1}{4} + \frac{1}{2} sin (6 x) > 0

Füge

\frac{1}{4}

zu beiden Seiten hinzu

- \frac{1}{4} + \frac{1}{2} sin (6 x) + \frac{1}{4} > 0 + \frac{1}{4}

Vereinfache

\frac{1}{2} sin (6 x) > \frac{1}{4}

\frac{1}{2} sin (6 x) > \frac{1}{4}

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{1}{2} sin (6 x) > \frac{1}{4}

Multipliziere beide Seiten mit

2

2 \cdot \frac{1}{2} sin (6 x) > \frac{1 \cdot 2}{4}

Vereinfache

2 \cdot \frac{1}{2} sin (6 x) > \frac{1 \cdot 2}{4}

Vereinfache

2 \cdot \frac{1}{2} sin (6 x) : sin (6 x)

2 \cdot \frac{1}{2} sin (6 x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2} sin (6 x)

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= sin (6 x) \cdot 1

Multipliziere:

sin (6 x) \cdot 1 = sin (6 x)

= sin (6 x)

Vereinfache

\frac{1 \cdot 2}{4} : \frac{1}{2}

\frac{1 \cdot 2}{4}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1}{2}

sin (6 x) > \frac{1}{2}

sin (6 x) > \frac{1}{2}

sin (6 x) > \frac{1}{2}

Für

sin (x) > a

, wenn

- 1 \leq a < 1

dann

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn < 6 x < π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Wenn

a < u < b

dann

a < u and u < b

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn < 6 x and 6 x < π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn < 6 x : x > \frac{π}{36} + \frac{πn}{3}

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn < 6 x

Tausche die Seiten

6 x > arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Vereinfache

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn : \frac{π}{6} + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6} + 2 πn

6 x > \frac{π}{6} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

6

6 x > \frac{π}{6} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

6

\frac{6 x}{6} > \frac{\frac{π}{6}}{6} + \frac{2 πn}{6}

Vereinfache

\frac{6 x}{6} > \frac{\frac{π}{6}}{6} + \frac{2 πn}{6}

Vereinfache

\frac{6 x}{6} : x

\frac{6 x}{6}

Teile die Zahlen:

\frac{6}{6} = 1

= x

Vereinfache

\frac{\frac{π}{6}}{6} + \frac{2 πn}{6} : \frac{π}{36} + \frac{πn}{3}

\frac{\frac{π}{6}}{6} + \frac{2 πn}{6}

\frac{\frac{π}{6}}{6} = \frac{π}{36}

\frac{\frac{π}{6}}{6}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{6 \cdot 6}

Multipliziere die Zahlen:

6 \cdot 6 = 36

= \frac{π}{36}

\frac{2 πn}{6} = \frac{πn}{3}

\frac{2 πn}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{πn}{3}

= \frac{π}{36} + \frac{πn}{3}

x > \frac{π}{36} + \frac{πn}{3}

x > \frac{π}{36} + \frac{πn}{3}

x > \frac{π}{36} + \frac{πn}{3}

6 x < π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn : x < \frac{5 π}{36} + \frac{π}{3} n

6 x < π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Vereinfache

π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn : π - \frac{π}{6} + 2 πn

π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{6} + 2 πn

6 x < π - \frac{π}{6} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

6

6 x < π - \frac{π}{6} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

6

\frac{6 x}{6} < \frac{π}{6} - \frac{\frac{π}{6}}{6} + \frac{2 πn}{6}

Vereinfache

\frac{6 x}{6} < \frac{π}{6} - \frac{\frac{π}{6}}{6} + \frac{2 πn}{6}

Vereinfache

\frac{6 x}{6} : x

\frac{6 x}{6}

Teile die Zahlen:

\frac{6}{6} = 1

= x

Vereinfache

\frac{π}{6} - \frac{\frac{π}{6}}{6} + \frac{2 πn}{6} : \frac{π}{6} - \frac{π}{36} + \frac{πn}{3}

\frac{π}{6} - \frac{\frac{π}{6}}{6} + \frac{2 πn}{6}

\frac{\frac{π}{6}}{6} = \frac{π}{36}

\frac{\frac{π}{6}}{6}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{6 \cdot 6}

Multipliziere die Zahlen:

6 \cdot 6 = 36

= \frac{π}{36}

\frac{2 πn}{6} = \frac{πn}{3}

\frac{2 πn}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{πn}{3}

= \frac{π}{6} - \frac{π}{36} + \frac{πn}{3}

x < \frac{π}{6} - \frac{π}{36} + \frac{πn}{3}

x < \frac{π}{6} - \frac{π}{36} + \frac{πn}{3}

Vereinfache

\frac{π}{6} - \frac{π}{36} : \frac{5 π}{36}

\frac{π}{6} - \frac{π}{36}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

6, 36 : 36

6, 36

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

6 : 2 \cdot 3

6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 3

Primfaktorzerlegung von

36 : 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

36

36

ist durch

236 = 18 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 18

18

ist durch

218 = 9 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 9

9

ist durch

39 = 3 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

6

oder

36

vorkommt

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 36

= 36

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

36

Für

\frac{π}{6} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

6

\frac{π}{6} = \frac{π 6}{6 \cdot 6} = \frac{π 6}{36}

= \frac{π 6}{36} - \frac{π}{36}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 6 - π}{36}

Addiere gleiche Elemente:

6 π - π = 5 π

= \frac{5 π}{36}

x < \frac{5 π}{36} + \frac{π}{3} n

x < \frac{5 π}{36} + \frac{π}{3} n

Kombiniere die Bereiche

x > \frac{π}{36} + \frac{πn}{3} and x < \frac{5 π}{36} + \frac{π}{3} n

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

\frac{π}{36} + \frac{π}{3} n < x < \frac{5 π}{36} + \frac{π}{3} n

Beliebte Beispiele

cos(-θ)<0

cos (- θ) < 0

1+cos(x)>0

1 + cos (x) > 0

cos(2x)<-(sqrt(2))/2 ,0<= x<= 2pi

cos (2 x) < - \frac{2}{2}, 0 \leq x \leq 2 π

cos^2(x)-sin^2(x)-cos(x)<= 0

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) - cos (x) \leq 0

sin(x/6)>=-(sqrt(2))/2

sin (\frac{x}{6}) \geq - \frac{2}{2}