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Beliebt Trigonometrie >

cosh(θ)= 12/7 \land θ<0,sinh(θ)

Lösung

cosh (θ) = \frac{12}{7} and θ < 0, sinh (θ)

Lösung

θ = ln (\frac{12 - 95}{7})

Dezimale

θ = - 1.13355 \dots

Schritte zur Lösung

cosh (θ) = \frac{12}{7} and θ < 0

cosh (θ) = \frac{12}{7} : θ = ln (\frac{12 + 95}{7}), θ = ln (\frac{12 - 95}{7})

cosh (θ) = \frac{12}{7}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cosh (θ) = \frac{12}{7}

Hyperbolische Identität anwenden:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{θ} + e ^{- θ}}{2} = \frac{12}{7}

\frac{e ^{θ} + e ^{- θ}}{2} = \frac{12}{7}

\frac{e ^{θ} + e ^{- θ}}{2} = \frac{12}{7} : θ = ln (\frac{12 + 95}{7}), θ = ln (\frac{12 - 95}{7})

\frac{e ^{θ} + e ^{- θ}}{2} = \frac{12}{7}

Wende die Regeln für Multipikation bei Brüchen an: Wenn

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

dann

a \cdot d = b \cdot c

(e^{θ} + e^{- θ}) \cdot 7 = 2 \cdot 12

Vereinfache

(e^{θ} + e^{- θ}) \cdot 7 = 24

Wende Exponentenregel an

(e^{θ} + e^{- θ}) \cdot 7 = 24

Wende Exponentenregel an:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- θ} = (e^{θ})^{- 1}

(e^{θ} + (e^{θ})^{- 1}) \cdot 7 = 24

(e^{θ} + (e^{θ})^{- 1}) \cdot 7 = 24

Schreibe die Gleichung um mit

e^{θ} = u

(u + (u)^{- 1}) \cdot 7 = 24

Löse

(u + u^{- 1}) \cdot 7 = 24 : u = \frac{12 + 95}{7}, u = \frac{12 - 95}{7}

(u + u^{- 1}) \cdot 7 = 24

Fasse zusammen

(u + \frac{1}{u}) \cdot 7 = 24

Vereinfache

(u + \frac{1}{u}) \cdot 7 : 7 (u + \frac{1}{u})

(u + \frac{1}{u}) \cdot 7

Apply the commutative law:

(u + \frac{1}{u}) \cdot 7 = 7 (u + \frac{1}{u})

7 (u + \frac{1}{u})

7 (u + \frac{1}{u}) = 24

Schreibe

7 (u + \frac{1}{u})

um:

7 u + \frac{7}{u}

7 (u + \frac{1}{u})

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = 7, b = u, c = \frac{1}{u}

= 7 u + 7 \cdot \frac{1}{u}

7 \cdot \frac{1}{u} = \frac{7}{u}

7 \cdot \frac{1}{u}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 7}{u}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 7 = 7

= \frac{7}{u}

= 7 u + \frac{7}{u}

7 u + \frac{7}{u} = 24

Multipliziere beide Seiten mit

u

7 u + \frac{7}{u} = 24

Multipliziere beide Seiten mit

u

7 uu + \frac{7}{u} u = 24 u

Vereinfache

7 uu + \frac{7}{u} u = 24 u

Vereinfache

7 uu : 7 u^{2}

7 uu

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= 7 u^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 7 u^{2}

Vereinfache

\frac{7}{u} u : 7

\frac{7}{u} u

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{7 u}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= 7

7 u^{2} + 7 = 24 u

7 u^{2} + 7 = 24 u

7 u^{2} + 7 = 24 u

Löse

7 u^{2} + 7 = 24 u : u = \frac{12 + 95}{7}, u = \frac{12 - 95}{7}

7 u^{2} + 7 = 24 u

Verschiebe

24 u

auf die linke Seite

7 u^{2} + 7 = 24 u

Subtrahiere

24 u

von beiden Seiten

7 u^{2} + 7 - 24 u = 24 u - 24 u

Vereinfache

7 u^{2} + 7 - 24 u = 0

7 u^{2} + 7 - 24 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

7 u^{2} - 24 u + 7 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

7 u^{2} - 24 u + 7 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 7, b = - 24, c = 7

u_{1, 2} = \frac{- ( - 24 ) \pm ( - 24 ) ^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 7}{2 \cdot 7}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 24 ) \pm ( - 24 ) ^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 7}{2 \cdot 7}

(- 24)^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 7 = 295

(- 24)^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 7

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 24)^{2} = 2 4^{2}

= 2 4^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 7

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 7 \cdot 7 = 196

= 2 4^{2} - 196

2 4^{2} = 576

= 576 - 196

Subtrahiere die Zahlen:

576 - 196 = 380

= 380

Primfaktorzerlegung von

380 : 2^{2} \cdot 5 \cdot 19

380

380

ist durch

2380 = 190 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 190

190

ist durch

2190 = 95 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 95

95

ist durch

595 = 19 \cdot 5

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 19

2, 5, 19

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 19

= 2^{2} \cdot 5 \cdot 19

= 2^{2} \cdot 5 \cdot 19

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2^{2} 5 \cdot 19

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2 5 \cdot 19

Fasse zusammen

= 295

u_{1, 2} = \frac{- ( - 24 ) \pm 2 95}{2 \cdot 7}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 24 ) + 2 95}{2 \cdot 7}, u_{2} = \frac{- ( - 24 ) - 2 95}{2 \cdot 7}

u = \frac{- ( - 24 ) + 2 95}{2 \cdot 7} : \frac{12 + 95}{7}

\frac{- ( - 24 ) + 2 95}{2 \cdot 7}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{24 + 2 95}{2 \cdot 7}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 7 = 14

= \frac{24 + 2 95}{14}

Faktorisiere

24 + 295 : 2 (12 + 95)

24 + 295

Schreibe um

= 2 \cdot 12 + 295

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (12 + 95)

= \frac{2 ( 12 + 95 )}{14}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{12 + 95}{7}

u = \frac{- ( - 24 ) - 2 95}{2 \cdot 7} : \frac{12 - 95}{7}

\frac{- ( - 24 ) - 2 95}{2 \cdot 7}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{24 - 2 95}{2 \cdot 7}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 7 = 14

= \frac{24 - 2 95}{14}

Faktorisiere

24 - 295 : 2 (12 - 95)

24 - 295

Schreibe um

= 2 \cdot 12 - 295

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (12 - 95)

= \frac{2 ( 12 - 95 )}{14}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{12 - 95}{7}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{12 + 95}{7}, u = \frac{12 - 95}{7}

u = \frac{12 + 95}{7}, u = \frac{12 - 95}{7}

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

(u + u^{- 1}) 7

und vergleiche mit Null

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = \frac{12 + 95}{7}, u = \frac{12 - 95}{7}

u = \frac{12 + 95}{7}, u = \frac{12 - 95}{7}

Setze

u = e^{θ} w i e d er e in,

löse für

θ

Löse

e^{θ} = \frac{12 + 95}{7} : θ = ln (\frac{12 + 95}{7})

e^{θ} = \frac{12 + 95}{7}

Wende Exponentenregel an

e^{θ} = \frac{12 + 95}{7}

Wenn

f (x) = g (x)

, dann

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{θ}) = ln (\frac{12 + 95}{7})

Wende die log Regel an:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{θ}) = θ

θ = ln (\frac{12 + 95}{7})

θ = ln (\frac{12 + 95}{7})

Löse

e^{θ} = \frac{12 - 95}{7} : θ = ln (\frac{12 - 95}{7})

e^{θ} = \frac{12 - 95}{7}

Wende Exponentenregel an

e^{θ} = \frac{12 - 95}{7}

Wenn

f (x) = g (x)

, dann

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{θ}) = ln (\frac{12 - 95}{7})

Wende die log Regel an:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{θ}) = θ

θ = ln (\frac{12 - 95}{7})

θ = ln (\frac{12 - 95}{7})

θ = ln (\frac{12 + 95}{7}), θ = ln (\frac{12 - 95}{7})

θ = ln (\frac{12 + 95}{7}), θ = ln (\frac{12 - 95}{7})

Kombiniere die Bereiche

(θ = ln (\frac{12 - 95}{7}) or θ = ln (\frac{12 + 95}{7})) and θ < 0

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

θ = ln (\frac{12 - 95}{7}) or θ = ln (\frac{12 + 95}{7}) and θ < 0

Die Schnittmenge zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in beiden Intervallen liegen

θ = ln (\frac{12 - 95}{7}) or θ = ln (\frac{12 + 95}{7})

und

θ < 0

θ = ln (\frac{12 - 95}{7})

θ = ln (\frac{12 - 95}{7})

Graph

Beliebte Beispiele

0<= sin^2(x)<= 1

0 \leq sin^{2} (x) \leq 1

cos(θ)=45\land 0<θ<90,sec(θ)

cos (θ) = 45 and 0^{\circ} < θ < 9 0^{\circ}, sec (θ)

sin(θ)<0\land cot(θ)<0

sin (θ) < 0 and cot (θ) < 0

5<= 20cos(pi/(20)(x-20))+23<= 20

5 \leq 20 cos (\frac{π}{20} (x - 20)) + 23 \leq 20

tan(θ)=-1\land sin(θ)>0

tan (θ) = - 1 and sin (θ) > 0