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cosh(θ)= 12/7 \land θ<0,sinh(θ)

Solución

cosh (θ) = \frac{12}{7} and θ < 0, sinh (θ)

Solución

θ = ln (\frac{12 - 95}{7})

Notación decimal

θ = - 1.13355 \dots

Pasos de solución

cosh (θ) = \frac{12}{7} and θ < 0

cosh (θ) = \frac{12}{7} : θ = ln (\frac{12 + 95}{7}), θ = ln (\frac{12 - 95}{7})

cosh (θ) = \frac{12}{7}

Re-escribir usando identidades trigonométricas

cosh (θ) = \frac{12}{7}

Utilizar la identidad hiperbólica:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{θ} + e ^{- θ}}{2} = \frac{12}{7}

\frac{e ^{θ} + e ^{- θ}}{2} = \frac{12}{7}

\frac{e ^{θ} + e ^{- θ}}{2} = \frac{12}{7} : θ = ln (\frac{12 + 95}{7}), θ = ln (\frac{12 - 95}{7})

\frac{e ^{θ} + e ^{- θ}}{2} = \frac{12}{7}

Utilizar multiplicación cruzada (regla de tres): Si

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

entonces

a \cdot d = b \cdot c

(e^{θ} + e^{- θ}) \cdot 7 = 2 \cdot 12

Simplificar

(e^{θ} + e^{- θ}) \cdot 7 = 24

Aplicar las leyes de los exponentes

(e^{θ} + e^{- θ}) \cdot 7 = 24

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- θ} = (e^{θ})^{- 1}

(e^{θ} + (e^{θ})^{- 1}) \cdot 7 = 24

(e^{θ} + (e^{θ})^{- 1}) \cdot 7 = 24

Re escribir la ecuación con

e^{θ} = u

(u + (u)^{- 1}) \cdot 7 = 24

Resolver

(u + u^{- 1}) \cdot 7 = 24 : u = \frac{12 + 95}{7}, u = \frac{12 - 95}{7}

(u + u^{- 1}) \cdot 7 = 24

Simplificar

(u + \frac{1}{u}) \cdot 7 = 24

Simplificar

(u + \frac{1}{u}) \cdot 7 : 7 (u + \frac{1}{u})

(u + \frac{1}{u}) \cdot 7

Aplicar regla conmutativa:

(u + \frac{1}{u}) \cdot 7 = 7 (u + \frac{1}{u})

7 (u + \frac{1}{u})

7 (u + \frac{1}{u}) = 24

Desarrollar

7 (u + \frac{1}{u}) : 7 u + \frac{7}{u}

7 (u + \frac{1}{u})

Poner los parentesis utilizando:

a (b + c) = ab + a c

a = 7, b = u, c = \frac{1}{u}

= 7 u + 7 \cdot \frac{1}{u}

7 \cdot \frac{1}{u} = \frac{7}{u}

7 \cdot \frac{1}{u}

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 7}{u}

Multiplicar los numeros:

1 \cdot 7 = 7

= \frac{7}{u}

= 7 u + \frac{7}{u}

7 u + \frac{7}{u} = 24

Multiplicar ambos lados por

u

7 u + \frac{7}{u} = 24

Multiplicar ambos lados por

u

7 uu + \frac{7}{u} u = 24 u

Simplificar

7 uu + \frac{7}{u} u = 24 u

Simplificar

7 uu : 7 u^{2}

7 uu

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= 7 u^{1 + 1}

Sumar:

1 + 1 = 2

= 7 u^{2}

Simplificar

\frac{7}{u} u : 7

\frac{7}{u} u

Multiplicar fracciones:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{7 u}{u}

Eliminar los terminos comunes:

u

= 7

7 u^{2} + 7 = 24 u

7 u^{2} + 7 = 24 u

7 u^{2} + 7 = 24 u

Resolver

7 u^{2} + 7 = 24 u : u = \frac{12 + 95}{7}, u = \frac{12 - 95}{7}

7 u^{2} + 7 = 24 u

Mover

24 u

al lado izquierdo

7 u^{2} + 7 = 24 u

Restar

24 u

de ambos lados

7 u^{2} + 7 - 24 u = 24 u - 24 u

Simplificar

7 u^{2} + 7 - 24 u = 0

7 u^{2} + 7 - 24 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

7 u^{2} - 24 u + 7 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

7 u^{2} - 24 u + 7 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 7, b = - 24, c = 7

u_{1, 2} = \frac{- ( - 24 ) \pm ( - 24 ) ^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 7}{2 \cdot 7}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 24 ) \pm ( - 24 ) ^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 7}{2 \cdot 7}

(- 24)^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 7 = 295

(- 24)^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 7

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 24)^{2} = 2 4^{2}

= 2 4^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 7

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 7 \cdot 7 = 196

= 2 4^{2} - 196

2 4^{2} = 576

= 576 - 196

Restar:

576 - 196 = 380

= 380

Descomposición en factores primos de

380 : 2^{2} \cdot 5 \cdot 19

380

380

divida por

2380 = 190 \cdot 2

= 2 \cdot 190

190

divida por

2190 = 95 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 95

95

divida por

595 = 19 \cdot 5

= 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 19

2, 5, 19

son números primos, por lo tanto, no se pueden factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 19

= 2^{2} \cdot 5 \cdot 19

= 2^{2} \cdot 5 \cdot 19

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 2^{2} 5 \cdot 19

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 2 5 \cdot 19

Simplificar

= 295

u_{1, 2} = \frac{- ( - 24 ) \pm 2 95}{2 \cdot 7}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 24 ) + 2 95}{2 \cdot 7}, u_{2} = \frac{- ( - 24 ) - 2 95}{2 \cdot 7}

u = \frac{- ( - 24 ) + 2 95}{2 \cdot 7} : \frac{12 + 95}{7}

\frac{- ( - 24 ) + 2 95}{2 \cdot 7}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{24 + 2 95}{2 \cdot 7}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 7 = 14

= \frac{24 + 2 95}{14}

Factorizar

24 + 295 : 2 (12 + 95)

24 + 295

Reescribir como

= 2 \cdot 12 + 295

Factorizar el termino común

2

= 2 (12 + 95)

= \frac{2 ( 12 + 95 )}{14}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{12 + 95}{7}

u = \frac{- ( - 24 ) - 2 95}{2 \cdot 7} : \frac{12 - 95}{7}

\frac{- ( - 24 ) - 2 95}{2 \cdot 7}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{24 - 2 95}{2 \cdot 7}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 7 = 14

= \frac{24 - 2 95}{14}

Factorizar

24 - 295 : 2 (12 - 95)

24 - 295

Reescribir como

= 2 \cdot 12 - 295

Factorizar el termino común

2

= 2 (12 - 95)

= \frac{2 ( 12 - 95 )}{14}

Eliminar los terminos comunes:

2

= \frac{12 - 95}{7}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{12 + 95}{7}, u = \frac{12 - 95}{7}

u = \frac{12 + 95}{7}, u = \frac{12 - 95}{7}

Verificar las soluciones

Encontrar los puntos no definidos (singularidades):

u = 0

Tomar el(los) denominador(es) de

(u + u^{- 1}) 7

y comparar con cero

u = 0

Los siguientes puntos no están definidos

u = 0

Combinar los puntos no definidos con las soluciones:

u = \frac{12 + 95}{7}, u = \frac{12 - 95}{7}

u = \frac{12 + 95}{7}, u = \frac{12 - 95}{7}

Sustituir hacia atrás la

u = e^{θ},

resolver para

θ

Resolver

e^{θ} = \frac{12 + 95}{7} : θ = ln (\frac{12 + 95}{7})

e^{θ} = \frac{12 + 95}{7}

Aplicar las leyes de los exponentes

e^{θ} = \frac{12 + 95}{7}

f (x) = g (x)

, entonces

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{θ}) = ln (\frac{12 + 95}{7})

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{θ}) = θ

θ = ln (\frac{12 + 95}{7})

θ = ln (\frac{12 + 95}{7})

Resolver

e^{θ} = \frac{12 - 95}{7} : θ = ln (\frac{12 - 95}{7})

e^{θ} = \frac{12 - 95}{7}

Aplicar las leyes de los exponentes

e^{θ} = \frac{12 - 95}{7}

f (x) = g (x)

, entonces

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{θ}) = ln (\frac{12 - 95}{7})

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{θ}) = θ

θ = ln (\frac{12 - 95}{7})

θ = ln (\frac{12 - 95}{7})

θ = ln (\frac{12 + 95}{7}), θ = ln (\frac{12 - 95}{7})

θ = ln (\frac{12 + 95}{7}), θ = ln (\frac{12 - 95}{7})

Combinar los rangos

(θ = ln (\frac{12 - 95}{7}) or θ = ln (\frac{12 + 95}{7})) and θ < 0

Mezclar intervalos sobrepuestos

θ = ln (\frac{12 - 95}{7}) or θ = ln (\frac{12 + 95}{7}) and θ < 0

La intersección de dos intervalos, es el conjunto de numérico común a los dos intervalos

θ = ln (\frac{12 - 95}{7}) or θ = ln (\frac{12 + 95}{7})

θ < 0

θ = ln (\frac{12 - 95}{7})

θ = ln (\frac{12 - 95}{7})

Ejemplos populares

0<= sin^2(x)<= 1

0 \leq sin^{2} (x) \leq 1

cos(θ)=45\land 0<θ<90,sec(θ)

cos (θ) = 45 and 0^{\circ} < θ < 9 0^{\circ}, sec (θ)

sin(θ)<0\land cot(θ)<0

sin (θ) < 0 and cot (θ) < 0

5<= 20cos(pi/(20)(x-20))+23<= 20

5 \leq 20 cos (\frac{π}{20} (x - 20)) + 23 \leq 20

tan(θ)=-1\land sin(θ)>0

tan (θ) = - 1 and sin (θ) > 0