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Popular Trigonometria >

cos(x)<sin(x)<1

Solução

cos (x) < sin (x) < 1

Solução

\frac{π}{4} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{5 π}{4} + 2 πn

Notação de intervalo

(\frac{π}{4} + 2 πn, \frac{π}{2} + 2 πn) \cup (\frac{π}{2} + 2 πn, \frac{5 π}{4} + 2 πn)

Decimal

0.78539 \dots + 2 πn < x < 1.57079 \dots + 2 πn or 1.57079 \dots + 2 πn < x < 3.92699 \dots + 2 πn

Passos da solução

cos (x) < sin (x) < 1

a < u < b

então

a < u and u < b

cos (x) < sin (x) and sin (x) < 1

cos (x) < sin (x) : \frac{π}{4} + 2 πn < x < \frac{5 π}{4} + 2 πn

cos (x) < sin (x)

Mova

sin (x)

para o lado esquerdo

cos (x) < sin (x)

Subtrair

sin (x)

de ambos os lados

cos (x) - sin (x) < sin (x) - sin (x)

cos (x) - sin (x) < 0

cos (x) - sin (x) < 0

Usar a seguinte identidade:

cos (x) - sin (x) = 2 cos (\frac{π}{4} + x)

2 cos (\frac{π}{4} + x) < 0

Dividir ambos os lados por

2

2 cos (\frac{π}{4} + x) < 0

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 cos ( \frac{π}{4} + x )}{2} < \frac{0}{2}

Simplificar

cos (\frac{π}{4} + x) < 0

cos (\frac{π}{4} + x) < 0

Para

cos (x) < a

, se

- 1 < a \leq 1

então

arccos (a) + 2 πn < x < 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (0) + 2 πn < (\frac{π}{4} + x) < 2 π - arccos (0) + 2 πn

a < u < b

então

a < u and u < b

arccos (0) + 2 πn < \frac{π}{4} + x and \frac{π}{4} + x < 2 π - arccos (0) + 2 πn

arccos (0) + 2 πn < \frac{π}{4} + x : x > 2 πn + \frac{π}{4}

arccos (0) + 2 πn < \frac{π}{4} + x

Trocar lados

\frac{π}{4} + x > arccos (0) + 2 πn

Simplificar

arccos (0) + 2 πn : \frac{π}{2} + 2 πn

arccos (0) + 2 πn

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{2} + 2 πn

\frac{π}{4} + x > \frac{π}{2} + 2 πn

Mova

\frac{π}{4}

para o lado direito

\frac{π}{4} + x > \frac{π}{2} + 2 πn

Subtrair

\frac{π}{4}

de ambos os lados

\frac{π}{4} + x - \frac{π}{4} > \frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4}

Simplificar

\frac{π}{4} + x - \frac{π}{4} > \frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4}

Simplificar

\frac{π}{4} + x - \frac{π}{4} : x

\frac{π}{4} + x - \frac{π}{4}

Somar elementos similares:

\frac{π}{4} - \frac{π}{4} > 0

= x

Simplificar

\frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4} : 2 πn + \frac{π}{4}

\frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4}

Agrupar termos semelhantes

= 2 πn + \frac{π}{2} - \frac{π}{4}

Mínimo múltiplo comum de

2, 4 : 4

2, 4

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Decomposição em fatores primos de

2 : 2

2

2

é um número primo, portanto é possível fatorá-lo

= 2

Decomposição em fatores primos de

4 : 2 \cdot 2

4

4

dividida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Multiplique cada fator o maior número de vezes que ocorre ou em

2

ou em

4

= 2 \cdot 2

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= 4

Reescrever as frações baseando-se no mínimo múltiplo comum

Multiplicar cada numerador pelo mesmo valor necessário para multiplicar seu denominador correspondente para convertê-lo no mínimo múltiplo comum

Para

\frac{π}{2} :

multiplique o numerador e o denominador por

2

\frac{π}{2} = \frac{π 2}{2 \cdot 2} = \frac{π 2}{4}

= \frac{π 2}{4} - \frac{π}{4}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 2 - π}{4}

Somar elementos similares:

2 π - π = π

= 2 πn + \frac{π}{4}

x > 2 πn + \frac{π}{4}

x > 2 πn + \frac{π}{4}

x > 2 πn + \frac{π}{4}

\frac{π}{4} + x < 2 π - arccos (0) + 2 πn : x < \frac{5 π}{4} + 2 πn

\frac{π}{4} + x < 2 π - arccos (0) + 2 πn

Simplificar

2 π - arccos (0) + 2 πn : 2 π - \frac{π}{2} + 2 πn

2 π - arccos (0) + 2 πn

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{π}{2} + 2 πn

\frac{π}{4} + x < 2 π - \frac{π}{2} + 2 πn

Mova

\frac{π}{4}

para o lado direito

\frac{π}{4} + x < 2 π - \frac{π}{2} + 2 πn

Subtrair

\frac{π}{4}

de ambos os lados

\frac{π}{4} + x - \frac{π}{4} < 2 π - \frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4}

Simplificar

\frac{π}{4} + x - \frac{π}{4} < 2 π - \frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4}

Simplificar

\frac{π}{4} + x - \frac{π}{4} : x

\frac{π}{4} + x - \frac{π}{4}

Somar elementos similares:

\frac{π}{4} - \frac{π}{4} < 0

= x

Simplificar

2 π - \frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4} : 2 π + 2 πn - \frac{3 π}{4}

2 π - \frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4}

Agrupar termos semelhantes

= 2 π + 2 πn - \frac{π}{2} - \frac{π}{4}

Mínimo múltiplo comum de

2, 4 : 4

2, 4

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Decomposição em fatores primos de

2 : 2

2

2

é um número primo, portanto é possível fatorá-lo

= 2

Decomposição em fatores primos de

4 : 2 \cdot 2

4

4

dividida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

Multiplique cada fator o maior número de vezes que ocorre ou em

2

ou em

4

= 2 \cdot 2

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= 4

Reescrever as frações baseando-se no mínimo múltiplo comum

Multiplicar cada numerador pelo mesmo valor necessário para multiplicar seu denominador correspondente para convertê-lo no mínimo múltiplo comum

Para

\frac{π}{2} :

multiplique o numerador e o denominador por

2

\frac{π}{2} = \frac{π 2}{2 \cdot 2} = \frac{π 2}{4}

= - \frac{π 2}{4} - \frac{π}{4}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 2 - π}{4}

Somar elementos similares:

- 2 π - π = - 3 π

= \frac{- 3 π}{4}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= 2 π + 2 πn - \frac{3 π}{4}

x < 2 π + 2 πn - \frac{3 π}{4}

x < 2 π + 2 πn - \frac{3 π}{4}

x < 2 π + 2 πn - \frac{3 π}{4}

Simplificar

2 π - \frac{3 π}{4} : \frac{5 π}{4}

2 π - \frac{3 π}{4}

Converter para fração:

2 π = \frac{2 π 4}{4}

= \frac{2 π 4}{4} - \frac{3 π}{4}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 π 4 - 3 π}{4}

2 π 4 - 3 π = 5 π

2 π 4 - 3 π

Multiplicar os números:

2 \cdot 4 = 8

= 8 π - 3 π

Somar elementos similares:

8 π - 3 π = 5 π

= 5 π

= \frac{5 π}{4}

x < \frac{5 π}{4} + 2 πn

Combinar os intervalos

x > 2 πn + \frac{π}{4} and x < \frac{5 π}{4} + 2 πn

Junte intervalos que se sobrepoem

\frac{π}{4} + 2 πn < x < \frac{5 π}{4} + 2 πn

sin (x) < 1 : - \frac{3 π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) < 1

Para

sin (x) < a

, se

- 1 < a \leq 1

então

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (1) + 2 πn < x < arcsin (1) + 2 πn

Simplificar

- π - arcsin (1) : - \frac{3 π}{2}

- π - arcsin (1)

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - \frac{π}{2}

Simplificar

- π - \frac{π}{2}

Converter para fração:

π = \frac{π 2}{2}

= - \frac{π 2}{2} - \frac{π}{2}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 2 - π}{2}

Somar elementos similares:

- 2 π - π = - 3 π

= \frac{- 3 π}{2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{3 π}{2}

= - \frac{3 π}{2}

Simplificar

arcsin (1) : \frac{π}{2}

arcsin (1)

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

- \frac{3 π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

Combinar os intervalos

\frac{π}{4} + 2 πn < x < \frac{5 π}{4} + 2 πn and - \frac{3 π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

Junte intervalos que se sobrepoem

\frac{π}{4} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{5 π}{4} + 2 πn

Exemplos populares

sin(a-pi/2)*csc(2pi+a)90<= a<= 180

sin (a - \frac{π}{2}) \cdot csc (2 π + a) 9 0^{\circ} \leq a \leq 18 0^{\circ}

arcsec(-sqrt(2))0<= x<= 2pi

arcsec (- 2) 0 \leq x \leq 2 π

-1<sin(pix)<1

- 1 < sin (π x) < 1

cos(θ)=25\land tan(θ)<0

cos (θ) = 25 and tan (θ) < 0

cos(x)>0\land tan(x)>0

cos (x) > 0 and tan (x) > 0