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人気のある三角関数 >

4sin(x)-4cos(x)=2

解

4 sin (x) - 4 cos (x) = 2

解

x = - 2.71756 \dots + 2 πn, x = 1.14676 \dots + 2 πn

+1

度

x = - 155.70481 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 65.70481 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

解答ステップ

4 sin (x) - 4 cos (x) = 2

両辺に

4 cos (x)

を足す

4 sin (x) = 2 + 4 cos (x)

両辺を2乗する

(4 sin (x))^{2} = (2 + 4 cos (x))^{2}

両辺から

(2 + 4 cos (x))^{2}

を引く

16 sin^{2} (x) - 4 - 16 cos (x) - 16 cos^{2} (x) = 0

三角関数の公式を使用して書き換える

- 4 - 16 cos (x) - 16 cos^{2} (x) + 16 sin^{2} (x)

ピタゴラスの公式を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 4 - 16 cos (x) - 16 cos^{2} (x) + 16 (1 - cos^{2} (x))

簡素化

- 4 - 16 cos (x) - 16 cos^{2} (x) + 16 (1 - cos^{2} (x)) : - 32 cos^{2} (x) - 16 cos (x) + 12

- 4 - 16 cos (x) - 16 cos^{2} (x) + 16 (1 - cos^{2} (x))

拡張

16 (1 - cos^{2} (x)) : 16 - 16 cos^{2} (x)

16 (1 - cos^{2} (x))

分配法則を適用する:

a (b - c) = ab - a c

a = 16, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 16 \cdot 1 - 16 cos^{2} (x)

数を乗じる:

16 \cdot 1 = 16

= 16 - 16 cos^{2} (x)

= - 4 - 16 cos (x) - 16 cos^{2} (x) + 16 - 16 cos^{2} (x)

簡素化

- 4 - 16 cos (x) - 16 cos^{2} (x) + 16 - 16 cos^{2} (x) : - 32 cos^{2} (x) - 16 cos (x) + 12

- 4 - 16 cos (x) - 16 cos^{2} (x) + 16 - 16 cos^{2} (x)

条件のようなグループ

= - 16 cos (x) - 16 cos^{2} (x) - 16 cos^{2} (x) - 4 + 16

類似した元を足す:

- 16 cos^{2} (x) - 16 cos^{2} (x) = - 32 cos^{2} (x)

= - 16 cos (x) - 32 cos^{2} (x) - 4 + 16

数を足す/引く:

- 4 + 16 = 12

= - 32 cos^{2} (x) - 16 cos (x) + 12

= - 32 cos^{2} (x) - 16 cos (x) + 12

= - 32 cos^{2} (x) - 16 cos (x) + 12

12 - 16 cos (x) - 32 cos^{2} (x) = 0

置換で解く

12 - 16 cos (x) - 32 cos^{2} (x) = 0

仮定:

cos (x) = u

12 - 16 u - 32 u^{2} = 0

12 - 16 u - 32 u^{2} = 0 : u = - \frac{1 + 7}{4}, u = \frac{7 - 1}{4}

12 - 16 u - 32 u^{2} = 0

標準的な形式で書く

a x^{2} + b x + c = 0

- 32 u^{2} - 16 u + 12 = 0

解くとthe二次式

- 32 u^{2} - 16 u + 12 = 0

二次Equationの公式:

次の場合:

a = - 32, b = - 16, c = 12

u_{1, 2} = \frac{- ( - 16 ) \pm ( - 16 ) ^{2} - 4 ( - 32 ) \cdot 12}{2 ( - 32 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 16 ) \pm ( - 16 ) ^{2} - 4 ( - 32 ) \cdot 12}{2 ( - 32 )}

(- 16)^{2} - 4 (- 32) \cdot 12 = 167

(- 16)^{2} - 4 (- 32) \cdot 12

規則を適用

- (- a) = a

= (- 16)^{2} + 4 \cdot 32 \cdot 12

指数の規則を適用する:

n

が偶数であれば

(- a)^{n} = a^{n}

(- 16)^{2} = 1 6^{2}

= 1 6^{2} + 4 \cdot 32 \cdot 12

数を乗じる:

4 \cdot 32 \cdot 12 = 1536

= 1 6^{2} + 1536

1 6^{2} = 256

= 256 + 1536

数を足す:

256 + 1536 = 1792

= 1792

以下の素因数分解:

1792 : 2^{8} \cdot 7

1792

179221792 = 896 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 896

8962896 = 448 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 448

4482448 = 224 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 224

2242224 = 112 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 112

1122112 = 56 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 56

56256 = 28 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 28

28228 = 14 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 14

14214 = 7 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7

2, 7

はすべて素数である。ゆえにさらに因数分解することはできない

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7

= 2^{8} \cdot 7

= 2^{8} \cdot 7

累乗根の規則を適用する:

n ab = n a n b

= 7 2^{8}

累乗根の規則を適用する:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{8} = 2^{\frac{8}{2}} = 2^{4}

= 2^{4} 7

改良

= 167

u_{1, 2} = \frac{- ( - 16 ) \pm 16 7}{2 ( - 32 )}

解を分離する

u_{1} = \frac{- ( - 16 ) + 16 7}{2 ( - 32 )}, u_{2} = \frac{- ( - 16 ) - 16 7}{2 ( - 32 )}

u = \frac{- ( - 16 ) + 16 7}{2 ( - 32 )} : - \frac{1 + 7}{4}

\frac{- ( - 16 ) + 16 7}{2 ( - 32 )}

括弧を削除する:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{16 + 16 7}{- 2 \cdot 32}

数を乗じる:

2 \cdot 32 = 64

= \frac{16 + 16 7}{- 64}

分数の規則を適用する:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{16 + 16 7}{64}

キャンセル

\frac{16 + 16 7}{64} : \frac{1 + 7}{4}

\frac{16 + 16 7}{64}

因数

16 + 167 : 16 (1 + 7)

16 + 167

書き換え

= 16 \cdot 1 + 167

共通項をくくり出す

16

= 16 (1 + 7)

= \frac{16 ( 1 + 7 )}{64}

共通因数を約分する:

16

= \frac{1 + 7}{4}

= - \frac{1 + 7}{4}

u = \frac{- ( - 16 ) - 16 7}{2 ( - 32 )} : \frac{7 - 1}{4}

\frac{- ( - 16 ) - 16 7}{2 ( - 32 )}

括弧を削除する:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{16 - 16 7}{- 2 \cdot 32}

数を乗じる:

2 \cdot 32 = 64

= \frac{16 - 16 7}{- 64}

分数の規則を適用する:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

16 - 167 = - (167 - 16)

= \frac{16 7 - 16}{64}

因数

167 - 16 : 16 (7 - 1)

167 - 16

書き換え

= 167 - 16 \cdot 1

共通項をくくり出す

16

= 16 (7 - 1)

= \frac{16 ( 7 - 1 )}{64}

共通因数を約分する:

16

= \frac{7 - 1}{4}

二次equationの解:

u = - \frac{1 + 7}{4}, u = \frac{7 - 1}{4}

代用を戻す

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{1 + 7}{4}, cos (x) = \frac{7 - 1}{4}

cos (x) = - \frac{1 + 7}{4}, cos (x) = \frac{7 - 1}{4}

cos (x) = - \frac{1 + 7}{4} : x = arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{1 + 7}{4}

三角関数の逆数プロパティを適用する

cos (x) = - \frac{1 + 7}{4}

以下の一般解

cos (x) = - \frac{1 + 7}{4}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 πn

cos (x) = \frac{7 - 1}{4} : x = arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn

cos (x) = \frac{7 - 1}{4}

三角関数の逆数プロパティを適用する

cos (x) = \frac{7 - 1}{4}

以下の一般解

cos (x) = \frac{7 - 1}{4}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn

x = arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn

すべての解を組み合わせる

x = arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 πn, x = arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn

元のequationに当てはめて解を検算する

4 sin (x) - 4 cos (x) = 2

に当てはめて解を確認する

equationに一致しないものを削除する。

解答を確認する

arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 πn :

偽

arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 πn

挿入

n = 1

arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 π 1

4 sin (x) - 4 cos (x) = 2

の挿入向け

x = arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 π 1

4 sin (arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 π 1) - 4 cos (arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 π 1) = 2

改良

5.29150 \dots = 2

\Rightarrow 偽

解答を確認する

- arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 πn :

真

- arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 πn

挿入

n = 1

- arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 π 1

4 sin (x) - 4 cos (x) = 2

の挿入向け

x = - arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 π 1

4 sin (- arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 π 1) - 4 cos (- arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 π 1) = 2

改良

2 = 2

\Rightarrow 真

解答を確認する

arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn :

真

arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn

挿入

n = 1

arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 π 1

4 sin (x) - 4 cos (x) = 2

の挿入向け

x = arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 π 1

4 sin (arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 π 1) - 4 cos (arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 π 1) = 2

改良

2 = 2

\Rightarrow 真

解答を確認する

2 π - arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn :

偽

2 π - arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn

挿入

n = 1

2 π - arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 π 1

4 sin (x) - 4 cos (x) = 2

の挿入向け

x = 2 π - arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 π 1

4 sin (2 π - arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 π 1) - 4 cos (2 π - arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 π 1) = 2

改良

- 5.29150 \dots = 2

\Rightarrow 偽

x = - arccos (- \frac{1 + 7}{4}) + 2 πn, x = arccos (\frac{7 - 1}{4}) + 2 πn

10進法形式で解を証明する

x = - 2.71756 \dots + 2 πn, x = 1.14676 \dots + 2 πn

グラフ

人気の例

solvefor x,arcsin(x)+arcsin(y)= pi/2

so l v e f or x, arcsin (x) + arcsin (y) = \frac{π}{2}

2arctan(1/2)=arccos(x)

2 arctan (\frac{1}{2}) = arccos (x)

sin(x/2)+sin(x/2)=sin(x)

sin (\frac{x}{2}) + sin (\frac{x}{2}) = sin (x)

15cos(x)-5=4cos(x)

15 cos (x) - 5 = 4 cos (x)

cos(x)-cos(2x)=0,0<= x<= 2pi

cos (x) - cos (2 x) = 0, 0 \leq x \leq 2 π