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Popolare Trigonometria >

csc(θ/2)=sin(θ/2)

Soluzione

csc (\frac{θ}{2}) = sin (\frac{θ}{2})

Soluzione

θ = π + 4 πn, θ = 3 π + 4 πn

Gradi

θ = 18 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n, θ = 54 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

csc (\frac{θ}{2}) = sin (\frac{θ}{2})

Sottrarre

sin (\frac{θ}{2})

da entrambi i lati

csc (\frac{θ}{2}) - sin (\frac{θ}{2}) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

csc (\frac{θ}{2}) - sin (\frac{θ}{2})

Usare l'identità trigonometrica di base:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

= csc (\frac{θ}{2}) - \frac{1}{csc ( \frac{θ}{2} )}

csc (\frac{θ}{2}) - \frac{1}{csc ( \frac{θ}{2} )} = 0

Risolvi per sostituzione

csc (\frac{θ}{2}) - \frac{1}{csc ( \frac{θ}{2} )} = 0

Sia:

csc (\frac{θ}{2}) = u

u - \frac{1}{u} = 0

u - \frac{1}{u} = 0 : u = 1, u = - 1

u - \frac{1}{u} = 0

Moltiplica entrambi i lati per

u

u - \frac{1}{u} = 0

Moltiplica entrambi i lati per

u

uu - \frac{1}{u} u = 0 \cdot u

Semplificare

uu - \frac{1}{u} u = 0 \cdot u

Semplificare

uu : u^{2}

uu

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= u^{1 + 1}

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= u^{2}

Semplificare

- \frac{1}{u} u : - 1

- \frac{1}{u} u

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{1 \cdot u}{u}

Cancella il fattore comune:

u

= - 1

Semplificare

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Applicare la regola

0 \cdot a = 0

= 0

u^{2} - 1 = 0

u^{2} - 1 = 0

u^{2} - 1 = 0

Risolvi

u^{2} - 1 = 0 : u = 1, u = - 1

u^{2} - 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u^{2} - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

u^{2} - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

u^{2} = 1

u^{2} = 1

Per

x^{2} = f (a)

le soluzioni sono

x = f (a), - f (a)

u = 1, u = - 1

1 = 1

1

Applicare la regola

1 = 1

= 1

- 1 = - 1

- 1

Applicare la regola

1 = 1

= - 1

u = 1, u = - 1

u = 1, u = - 1

Verificare le soluzioni

Trova i punti non-definiti (singolarità):

u = 0

Prendere il denominatore (i) dell'

u - \frac{1}{u}

e confrontare con zero

u = 0

I seguenti punti sono non definiti

u = 0

Combinare punti non definiti con soluzioni:

u = 1, u = - 1

Sostituire indietro

u = csc (\frac{θ}{2})

csc (\frac{θ}{2}) = 1, csc (\frac{θ}{2}) = - 1

csc (\frac{θ}{2}) = 1, csc (\frac{θ}{2}) = - 1

csc (\frac{θ}{2}) = 1 : θ = π + 4 πn

csc (\frac{θ}{2}) = 1

Soluzioni generali per

csc (\frac{θ}{2}) = 1

csc (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} csc (x) Undefiend 22 \frac{2 3}{3} 1 \frac{2 3}{3} 22 x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} csc (x) Undefiend - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2

\frac{θ}{2} = \frac{π}{2} + 2 πn

\frac{θ}{2} = \frac{π}{2} + 2 πn

Risolvi

\frac{θ}{2} = \frac{π}{2} + 2 πn : θ = π + 4 πn

\frac{θ}{2} = \frac{π}{2} + 2 πn

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{θ}{2} = \frac{π}{2} + 2 πn

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{2 θ}{2} = 2 \cdot \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 πn

Semplificare

\frac{2 θ}{2} = 2 \cdot \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 πn

Semplificare

\frac{2 θ}{2} : θ

\frac{2 θ}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= θ

Semplificare

2 \cdot \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 πn : π + 4 πn

2 \cdot \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 πn

2 \cdot \frac{π}{2} = π

2 \cdot \frac{π}{2}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{π 2}{2}

Cancella il fattore comune:

2

= π

2 \cdot 2 πn = 4 πn

2 \cdot 2 πn

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= 4 πn

= π + 4 πn

θ = π + 4 πn

θ = π + 4 πn

θ = π + 4 πn

θ = π + 4 πn

csc (\frac{θ}{2}) = - 1 : θ = 3 π + 4 πn

csc (\frac{θ}{2}) = - 1

Soluzioni generali per

csc (\frac{θ}{2}) = - 1

csc (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} csc (x) Undefiend 22 \frac{2 3}{3} 1 \frac{2 3}{3} 22 x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} csc (x) Undefiend - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2

\frac{θ}{2} = \frac{3 π}{2} + 2 πn

\frac{θ}{2} = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Risolvi

\frac{θ}{2} = \frac{3 π}{2} + 2 πn : θ = 3 π + 4 πn

\frac{θ}{2} = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{θ}{2} = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{2 θ}{2} = 2 \cdot \frac{3 π}{2} + 2 \cdot 2 πn

Semplificare

\frac{2 θ}{2} = 2 \cdot \frac{3 π}{2} + 2 \cdot 2 πn

Semplificare

\frac{2 θ}{2} : θ

\frac{2 θ}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= θ

Semplificare

2 \cdot \frac{3 π}{2} + 2 \cdot 2 πn : 3 π + 4 πn

2 \cdot \frac{3 π}{2} + 2 \cdot 2 πn

2 \cdot \frac{3 π}{2} = 3 π

2 \cdot \frac{3 π}{2}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 π 2}{2}

Cancella il fattore comune:

2

= 3 π

2 \cdot 2 πn = 4 πn

2 \cdot 2 πn

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= 4 πn

= 3 π + 4 πn

θ = 3 π + 4 πn

θ = 3 π + 4 πn

θ = 3 π + 4 πn

θ = 3 π + 4 πn

Combinare tutte le soluzioni

θ = π + 4 πn, θ = 3 π + 4 πn

Grafico

Esempi popolari

sin(θ)=0.25

sin (θ) = 0.25

cos(x)= 308/1475

cos (x) = \frac{308}{1475}

tan(θ)= 6/3

tan (θ) = \frac{6}{3}

csc(θ)=-13/5

csc (θ) = - \frac{13}{5}

cos(x)=0.74

cos (x) = 0.74