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Beliebt Trigonometrie >

4cos(x)=sin^2(x)+1

Lösung

4 cos (x) = sin^{2} (x) + 1

Lösung

x = 1.10460 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.10460 \dots + 2 πn

Grad

x = 63.28904 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 296.71095 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

4 cos (x) = sin^{2} (x) + 1

Subtrahiere

sin^{2} (x) + 1

von beiden Seiten

4 cos (x) - sin^{2} (x) - 1 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 - sin^{2} (x) + 4 cos (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 1 - (1 - cos^{2} (x)) + 4 cos (x)

Vereinfache

- 1 - (1 - cos^{2} (x)) + 4 cos (x) : cos^{2} (x) + 4 cos (x) - 2

- 1 - (1 - cos^{2} (x)) + 4 cos (x)

- (1 - cos^{2} (x)) : - 1 + cos^{2} (x)

- (1 - cos^{2} (x))

Setze Klammern

= - (1) - (- cos^{2} (x))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + cos^{2} (x)

= - 1 - 1 + cos^{2} (x) + 4 cos (x)

Subtrahiere die Zahlen:

- 1 - 1 = - 2

= cos^{2} (x) + 4 cos (x) - 2

= cos^{2} (x) + 4 cos (x) - 2

- 2 + cos^{2} (x) + 4 cos (x) = 0

Löse mit Substitution

- 2 + cos^{2} (x) + 4 cos (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

- 2 + u^{2} + 4 u = 0

- 2 + u^{2} + 4 u = 0 : u = - 2 + 6, u = - 2 - 6

- 2 + u^{2} + 4 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} + 4 u - 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

u^{2} + 4 u - 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = 4, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 2 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 2 )}{2 \cdot 1}

4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = 26

4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 4^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

= 4^{2} + 8

4^{2} = 16

= 16 + 8

Addiere die Zahlen:

16 + 8 = 24

= 24

Primfaktorzerlegung von

24 : 2^{3} \cdot 3

24

24

ist durch

224 = 12 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 12

12

ist durch

212 = 6 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{3} \cdot 3

= 2^{3} \cdot 3

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2 \cdot 3

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2^{2} 2 \cdot 3

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2 2 \cdot 3

Fasse zusammen

= 26

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 2 6}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 4 + 2 6}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- 4 - 2 6}{2 \cdot 1}

u = \frac{- 4 + 2 6}{2 \cdot 1} : - 2 + 6

\frac{- 4 + 2 6}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 4 + 2 6}{2}

Faktorisiere

- 4 + 26 : 2 (- 2 + 6)

- 4 + 26

Schreibe um

= - 2 \cdot 2 + 26

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (- 2 + 6)

= \frac{2 ( - 2 + 6 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= - 2 + 6

u = \frac{- 4 - 2 6}{2 \cdot 1} : - 2 - 6

\frac{- 4 - 2 6}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 4 - 2 6}{2}

Faktorisiere

- 4 - 26 : - 2 (2 + 6)

- 4 - 26

Schreibe um

= - 2 \cdot 2 - 26

Klammere gleiche Terme aus

2

= - 2 (2 + 6)

= - \frac{2 ( 2 + 6 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= - (2 + 6)

Negiere die Vorzeichen

- (2 + 6) = - 2 - 6

= - 2 - 6

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - 2 + 6, u = - 2 - 6

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - 2 + 6, cos (x) = - 2 - 6

cos (x) = - 2 + 6, cos (x) = - 2 - 6

cos (x) = - 2 + 6 : x = arccos (- 2 + 6) + 2 πn, x = 2 π - arccos (- 2 + 6) + 2 πn

cos (x) = - 2 + 6

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - 2 + 6

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - 2 + 6

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (- 2 + 6) + 2 πn, x = 2 π - arccos (- 2 + 6) + 2 πn

x = arccos (- 2 + 6) + 2 πn, x = 2 π - arccos (- 2 + 6) + 2 πn

cos (x) = - 2 - 6 :

Keine Lösung

cos (x) = - 2 - 6

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (- 2 + 6) + 2 πn, x = 2 π - arccos (- 2 + 6) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 1.10460 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.10460 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cot(A)= 24/7

cot (A) = \frac{24}{7}

(sin(74))/8 =(sin(a))/4

\frac{sin ( 7 4 ^{\circ} )}{8} = \frac{sin ( a )}{4}

sin(x)=sin(x-pi/2)

sin (x) = sin (x - \frac{π}{2})

tan(x)= pi/3

tan (x) = \frac{π}{3}

cos(x)=-0.58

cos (x) = - 0.58