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1-3cos(x)-cos(2x)=0

Lösung

1 - 3 cos (x) - cos (2 x) = 0

Lösung

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Grad

x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

1 - 3 cos (x) - cos (2 x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 - cos (2 x) - 3 cos (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 1 - (2 cos^{2} (x) - 1) - 3 cos (x)

Vereinfache

1 - (2 cos^{2} (x) - 1) - 3 cos (x) : - 2 cos^{2} (x) - 3 cos (x) + 2

1 - (2 cos^{2} (x) - 1) - 3 cos (x)

- (2 cos^{2} (x) - 1) : - 2 cos^{2} (x) + 1

- (2 cos^{2} (x) - 1)

Setze Klammern

= - (2 cos^{2} (x)) - (- 1)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 2 cos^{2} (x) + 1

= 1 - 2 cos^{2} (x) + 1 - 3 cos (x)

Vereinfache

1 - 2 cos^{2} (x) + 1 - 3 cos (x) : - 2 cos^{2} (x) - 3 cos (x) + 2

1 - 2 cos^{2} (x) + 1 - 3 cos (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 2 cos^{2} (x) - 3 cos (x) + 1 + 1

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= - 2 cos^{2} (x) - 3 cos (x) + 2

= - 2 cos^{2} (x) - 3 cos (x) + 2

= - 2 cos^{2} (x) - 3 cos (x) + 2

2 - 2 cos^{2} (x) - 3 cos (x) = 0

Löse mit Substitution

2 - 2 cos^{2} (x) - 3 cos (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

2 - 2 u^{2} - 3 u = 0

2 - 2 u^{2} - 3 u = 0 : u = - 2, u = \frac{1}{2}

2 - 2 u^{2} - 3 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} - 3 u + 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 2 u^{2} - 3 u + 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 2, b = - 3, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 2}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 2}{2 ( - 2 )}

(- 3)^{2} - 4 (- 2) \cdot 2 = 5

(- 3)^{2} - 4 (- 2) \cdot 2

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 3)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 2

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 3)^{2} = 3^{2}

= 3^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 2 = 16

= 3^{2} + 16

3^{2} = 9

= 9 + 16

Addiere die Zahlen:

9 + 16 = 25

= 25

Faktorisiere die Zahl:

25 = 5^{2}

= 5^{2}

Wende Radikal Regel an:

5^{2} = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm 5}{2 ( - 2 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 3 ) + 5}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- ( - 3 ) - 5}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- ( - 3 ) + 5}{2 ( - 2 )} : - 2

\frac{- ( - 3 ) + 5}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{3 + 5}{- 2 \cdot 2}

Addiere die Zahlen:

3 + 5 = 8

= \frac{8}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{8}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8}{4}

Teile die Zahlen:

\frac{8}{4} = 2

= - 2

u = \frac{- ( - 3 ) - 5}{2 ( - 2 )} : \frac{1}{2}

\frac{- ( - 3 ) - 5}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{3 - 5}{- 2 \cdot 2}

Subtrahiere die Zahlen:

3 - 5 = - 2

= \frac{- 2}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - 2, u = \frac{1}{2}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - 2, cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = - 2, cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = - 2 :

Keine Lösung

cos (x) = - 2

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Beliebte Beispiele

cot(θ)= 12/5 ,tan(θ)

cot (θ) = \frac{12}{5}, tan (θ)

sin(a)=cos(pi/2-θ)

sin (a) = cos (\frac{π}{2} - θ)

tan(θ)+sec(θ)=2cos(θ)

tan (θ) + sec (θ) = 2 cos (θ)

cos(x)=0.68

cos (x) = 0.68

cos(x)=0.65

cos (x) = 0.65