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2sec(x)+tan^2(x)-9=1

Lösung

2 sec (x) + tan^{2} (x) - 9 = 1

Lösung

x = 1.15291 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.15291 \dots + 2 πn, x = 1.79672 \dots + 2 πn, x = - 1.79672 \dots + 2 πn

Grad

x = 66.05701 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 293.94298 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 102.94462 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 102.94462 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 sec (x) + tan^{2} (x) - 9 = 1

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

tan^{2} (x) + 2 sec (x) - 10 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 10 + tan^{2} (x) + 2 sec (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

tan^{2} (x) + 1 = sec^{2} (x)

tan^{2} (x) = sec^{2} (x) - 1

= - 10 + sec^{2} (x) - 1 + 2 sec (x)

Vereinfache

- 10 + sec^{2} (x) - 1 + 2 sec (x) : sec^{2} (x) + 2 sec (x) - 11

- 10 + sec^{2} (x) - 1 + 2 sec (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= sec^{2} (x) + 2 sec (x) - 10 - 1

Subtrahiere die Zahlen:

- 10 - 1 = - 11

= sec^{2} (x) + 2 sec (x) - 11

= sec^{2} (x) + 2 sec (x) - 11

- 11 + sec^{2} (x) + 2 sec (x) = 0

Löse mit Substitution

- 11 + sec^{2} (x) + 2 sec (x) = 0

Angenommen:

sec (x) = u

- 11 + u^{2} + 2 u = 0

- 11 + u^{2} + 2 u = 0 : u = - 1 + 23, u = - 1 - 23

- 11 + u^{2} + 2 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} + 2 u - 11 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

u^{2} + 2 u - 11 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = 2, c = - 11

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 11 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 11 )}{2 \cdot 1}

2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 11) = 43

2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 11)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 11

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 11 = 44

= 2^{2} + 44

2^{2} = 4

= 4 + 44

Addiere die Zahlen:

4 + 44 = 48

= 48

Primfaktorzerlegung von

48 : 2^{4} \cdot 3

48

48

ist durch

248 = 24 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 24

24

ist durch

224 = 12 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 12

12

ist durch

212 = 6 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{4} \cdot 3

= 2^{4} \cdot 3

Wende Radikal Regel an:

= 3 2^{4}

Wende Radikal Regel an:

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 3

Fasse zusammen

= 43

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 4 3}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 2 + 4 3}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- 2 - 4 3}{2 \cdot 1}

u = \frac{- 2 + 4 3}{2 \cdot 1} : - 1 + 23

\frac{- 2 + 4 3}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2 + 4 3}{2}

Faktorisiere

- 2 + 43 : 2 (- 1 + 23)

- 2 + 43

Schreibe um

= - 2 \cdot 1 + 2 \cdot 23

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (- 1 + 23)

= \frac{2 ( - 1 + 2 3 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= - 1 + 23

u = \frac{- 2 - 4 3}{2 \cdot 1} : - 1 - 23

\frac{- 2 - 4 3}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2 - 4 3}{2}

Faktorisiere

- 2 - 43 : - 2 (1 + 23)

- 2 - 43

Schreibe um

= - 2 \cdot 1 - 2 \cdot 23

Klammere gleiche Terme aus

2

= - 2 (1 + 23)

= - \frac{2 ( 1 + 2 3 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= - (1 + 23)

Negiere die Vorzeichen

- (1 + 23) = - 1 - 23

= - 1 - 23

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - 1 + 23, u = - 1 - 23

Setze in

u = sec (x)

ein

sec (x) = - 1 + 23, sec (x) = - 1 - 23

sec (x) = - 1 + 23, sec (x) = - 1 - 23

sec (x) = - 1 + 23 : x = arcsec (- 1 + 23) + 2 πn, x = 2 π - arcsec (- 1 + 23) + 2 πn

sec (x) = - 1 + 23

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sec (x) = - 1 + 23

Allgemeine Lösung für

sec (x) = - 1 + 23

sec (x) = a \Rightarrow x = arcsec (a) + 2 πn, x = 2 π - arcsec (a) + 2 πn

x = arcsec (- 1 + 23) + 2 πn, x = 2 π - arcsec (- 1 + 23) + 2 πn

x = arcsec (- 1 + 23) + 2 πn, x = 2 π - arcsec (- 1 + 23) + 2 πn

sec (x) = - 1 - 23 : x = arcsec (- 1 - 23) + 2 πn, x = - arcsec (- 1 - 23) + 2 πn

sec (x) = - 1 - 23

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sec (x) = - 1 - 23

Allgemeine Lösung für

sec (x) = - 1 - 23

sec (x) = - a \Rightarrow x = arcsec (- a) + 2 πn, x = - arcsec (- a) + 2 πn

x = arcsec (- 1 - 23) + 2 πn, x = - arcsec (- 1 - 23) + 2 πn

x = arcsec (- 1 - 23) + 2 πn, x = - arcsec (- 1 - 23) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsec (- 1 + 23) + 2 πn, x = 2 π - arcsec (- 1 + 23) + 2 πn, x = arcsec (- 1 - 23) + 2 πn, x = - arcsec (- 1 - 23) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 1.15291 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.15291 \dots + 2 πn, x = 1.79672 \dots + 2 πn, x = - 1.79672 \dots + 2 πn

Beliebte Beispiele

sin(x)=1.34

sin (x) = 1.34

tan(x)sin^2(x)=sin(2x)

tan (x) sin^{2} (x) = sin (2 x)

6-9sin(θ)-4cos^2(θ)=0

6 - 9 sin (θ) - 4 cos^{2} (θ) = 0

2cos^2(x)-1cos(x)=0

2 cos^{2} (x) - 1 cos (x) = 0

sec(x)=-1.5

sec (x) = - 1.5