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cos(2θ)=1+3sin(θ)

Solución

cos (2 θ) = 1 + 3 sin (θ)

Solución

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

Grados

θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

cos (2 θ) = 1 + 3 sin (θ)

Restar

1 + 3 sin (θ)

de ambos lados

cos (2 θ) - 1 - 3 sin (θ) = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 1 + cos (2 θ) - 3 sin (θ)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= - 1 + 1 - 2 sin^{2} (θ) - 3 sin (θ)

Simplificar

= - 2 sin^{2} (θ) - 3 sin (θ)

- 2 sin^{2} (θ) - 3 sin (θ) = 0

Usando el método de sustitución

- 2 sin^{2} (θ) - 3 sin (θ) = 0

Sea:

sin (θ) = u

- 2 u^{2} - 3 u = 0

- 2 u^{2} - 3 u = 0 : u = - \frac{3}{2}, u = 0

- 2 u^{2} - 3 u = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

- 2 u^{2} - 3 u = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = - 2, b = - 3, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 0}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 0}{2 ( - 2 )}

(- 3)^{2} - 4 (- 2) \cdot 0 = 3

(- 3)^{2} - 4 (- 2) \cdot 0

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 3)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 0

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 3)^{2} = 3^{2}

= 3^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 0

Aplicar la regla

0 \cdot a = 0

= 3^{2} + 0

3^{2} + 0 = 3^{2}

= 3^{2}

Aplicar la siguiente propiedad de los radicales:

asumiendo que

a \geq 0

= 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm 3}{2 ( - 2 )}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 3 ) + 3}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- ( - 3 ) - 3}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- ( - 3 ) + 3}{2 ( - 2 )} : - \frac{3}{2}

\frac{- ( - 3 ) + 3}{2 ( - 2 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{3 + 3}{- 2 \cdot 2}

Sumar:

3 + 3 = 6

= \frac{6}{- 2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{6}{- 4}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{6}{4}

Eliminar los terminos comunes:

2

= - \frac{3}{2}

u = \frac{- ( - 3 ) - 3}{2 ( - 2 )} : 0

\frac{- ( - 3 ) - 3}{2 ( - 2 )}

Quitar los parentesis:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{3 - 3}{- 2 \cdot 2}

Restar:

3 - 3 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{0}{- 4}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{4}

Aplicar la regla

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = - \frac{3}{2}, u = 0

Sustituir en la ecuación

u = sin (θ)

sin (θ) = - \frac{3}{2}, sin (θ) = 0

sin (θ) = - \frac{3}{2}, sin (θ) = 0

sin (θ) = - \frac{3}{2} :

Sin solución

sin (θ) = - \frac{3}{2}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

sin (θ) = 0 : θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

sin (θ) = 0

Soluciones generales para

sin (θ) = 0

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

Resolver

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

Combinar toda las soluciones

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

Ejemplos populares

cos(2x)-cos(x)=-1,0<= x<2pi

cos (2 x) - cos (x) = - 1, 0 \leq x < 2 π

sin(x)=-1/(sqrt(10))

sin (x) = - \frac{1}{10}

sec^2(θ)+sec(θ)=2,2pi<= θ<= 3pi

sec^{2} (θ) + sec (θ) = 2, 2 π \leq θ \leq 3 π

6sec^2(x)=0

6 sec^{2} (x) = 0

sqrt(3-2cos(x))=2

3 - 2 cos (x) = 2