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cos(2x)+cos(x)-1=0

Solución

cos (2 x) + cos (x) - 1 = 0

Solución

x = 0.67488 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.67488 \dots + 2 πn

Grados

x = 38.66828 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 321.33171 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

cos (2 x) + cos (x) - 1 = 0

Re-escribir usando identidades trigonométricas

- 1 + cos (2 x) + cos (x)

Utilizar la identidad trigonométrica del ángulo doble:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= - 1 + 2 cos^{2} (x) - 1 + cos (x)

Simplificar

- 1 + 2 cos^{2} (x) - 1 + cos (x) : 2 cos^{2} (x) + cos (x) - 2

- 1 + 2 cos^{2} (x) - 1 + cos (x)

Agrupar términos semejantes

= 2 cos^{2} (x) + cos (x) - 1 - 1

Restar:

- 1 - 1 = - 2

= 2 cos^{2} (x) + cos (x) - 2

= 2 cos^{2} (x) + cos (x) - 2

- 2 + cos (x) + 2 cos^{2} (x) = 0

Usando el método de sustitución

- 2 + cos (x) + 2 cos^{2} (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

- 2 + u + 2 u^{2} = 0

- 2 + u + 2 u^{2} = 0 : u = \frac{- 1 + 17}{4}, u = \frac{- 1 - 17}{4}

- 2 + u + 2 u^{2} = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} + u - 2 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

2 u^{2} + u - 2 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 2, b = 1, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 2 )}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 2 )}{2 \cdot 2}

1^{2} - 4 \cdot 2 (- 2) = 17

1^{2} - 4 \cdot 2 (- 2)

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 \cdot 2 (- 2)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 2 \cdot 2

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 2 \cdot 2 = 16

= 1 + 16

Sumar:

1 + 16 = 17

= 17

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 17}{2 \cdot 2}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- 1 + 17}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- 1 - 17}{2 \cdot 2}

u = \frac{- 1 + 17}{2 \cdot 2} : \frac{- 1 + 17}{4}

\frac{- 1 + 17}{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 1 + 17}{4}

u = \frac{- 1 - 17}{2 \cdot 2} : \frac{- 1 - 17}{4}

\frac{- 1 - 17}{2 \cdot 2}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 1 - 17}{4}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = \frac{- 1 + 17}{4}, u = \frac{- 1 - 17}{4}

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = \frac{- 1 + 17}{4}, cos (x) = \frac{- 1 - 17}{4}

cos (x) = \frac{- 1 + 17}{4}, cos (x) = \frac{- 1 - 17}{4}

cos (x) = \frac{- 1 + 17}{4} : x = arccos (\frac{- 1 + 17}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 17}{4}) + 2 πn

cos (x) = \frac{- 1 + 17}{4}

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = \frac{- 1 + 17}{4}

Soluciones generales para

cos (x) = \frac{- 1 + 17}{4}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{- 1 + 17}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 17}{4}) + 2 πn

x = arccos (\frac{- 1 + 17}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 17}{4}) + 2 πn

cos (x) = \frac{- 1 - 17}{4} :

Sin solución

cos (x) = \frac{- 1 - 17}{4}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

Combinar toda las soluciones

x = arccos (\frac{- 1 + 17}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 17}{4}) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = 0.67488 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.67488 \dots + 2 πn

Ejemplos populares

cos(2x)-1=-sin(2x)

cos (2 x) - 1 = - sin (2 x)

5sin(x)=sqrt(3)+3sin(x)

5 sin (x) = 3 + 3 sin (x)

cos(a)=0.3

cos (a) = 0.3

5+3tan(x)=4

5 + 3 tan (x) = 4

cos(x)+sin(x/2)=0

cos (x) + sin (\frac{x}{2}) = 0