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Popular Trigonometria >

2cos(3x)=1+cos(x)

Solução

2 cos (3 x) = 1 + cos (x)

Solução

x = 2 πn, x = 1.71777 \dots + 2 πn, x = - 1.71777 \dots + 2 πn, x = 2.59356 \dots + 2 πn, x = - 2.59356 \dots + 2 πn

Graus

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 98.42105 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 98.42105 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 148.60028 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 148.60028 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

2 cos (3 x) = 1 + cos (x)

Subtrair

1 + cos (x)

de ambos os lados

2 cos (3 x) - 1 - cos (x) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- 1 - cos (x) + 2 cos (3 x)

cos (3 x) = 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

cos (3 x)

Reeecreva usando identidades trigonométricas

cos (3 x)

Reescrever como

= cos (2 x + x)

Use a identidade de soma de ângulos:

cos (s + t) = cos (s) cos (t) - sin (s) sin (t)

= cos (2 x) cos (x) - sin (2 x) sin (x)

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= cos (2 x) cos (x) - 2 sin (x) cos (x) sin (x)

Simplificar

cos (2 x) cos (x) - 2 sin (x) cos (x) sin (x) : cos (x) cos (2 x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

cos (2 x) cos (x) - 2 sin (x) cos (x) sin (x)

2 sin (x) cos (x) sin (x) = 2 sin^{2} (x) cos (x)

2 sin (x) cos (x) sin (x)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= 2 cos (x) sin^{1 + 1} (x)

Somar:

1 + 1 = 2

= 2 cos (x) sin^{2} (x)

= cos (x) cos (2 x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

= cos (x) cos (2 x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

= cos (x) cos (2 x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= (2 cos^{2} (x) - 1) cos (x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= (2 cos^{2} (x) - 1) cos (x) - 2 (1 - cos^{2} (x)) cos (x)

Expandir

(2 cos^{2} (x) - 1) cos (x) - 2 (1 - cos^{2} (x)) cos (x) : 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

(2 cos^{2} (x) - 1) cos (x) - 2 (1 - cos^{2} (x)) cos (x)

= cos (x) (2 cos^{2} (x) - 1) - 2 cos (x) (1 - cos^{2} (x))

Expandir

cos (x) (2 cos^{2} (x) - 1) : 2 cos^{3} (x) - cos (x)

cos (x) (2 cos^{2} (x) - 1)

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = cos (x), b = 2 cos^{2} (x), c = 1

= cos (x) 2 cos^{2} (x) - cos (x) 1

= 2 cos^{2} (x) cos (x) - 1 cos (x)

Simplificar

2 cos^{2} (x) cos (x) - 1 \cdot cos (x) : 2 cos^{3} (x) - cos (x)

2 cos^{2} (x) cos (x) - 1 cos (x)

2 cos^{2} (x) cos (x) = 2 cos^{3} (x)

2 cos^{2} (x) cos (x)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos^{2} (x) cos (x) = cos^{2 + 1} (x)

= 2 cos^{2 + 1} (x)

Somar:

2 + 1 = 3

= 2 cos^{3} (x)

1 \cdot cos (x) = cos (x)

1 cos (x)

Multiplicar:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= cos (x)

= 2 cos^{3} (x) - cos (x)

= 2 cos^{3} (x) - cos (x)

= 2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 (1 - cos^{2} (x)) cos (x)

Expandir

- 2 cos (x) (1 - cos^{2} (x)) : - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

- 2 cos (x) (1 - cos^{2} (x))

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = - 2 cos (x), b = 1, c = cos^{2} (x)

= - 2 cos (x) 1 - (- 2 cos (x)) cos^{2} (x)

Aplicar as regras dos sinais

- (- a) = a

= - 2 \cdot 1 cos (x) + 2 cos^{2} (x) cos (x)

Simplificar

- 2 \cdot 1 \cdot cos (x) + 2 cos^{2} (x) cos (x) : - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

- 2 \cdot 1 cos (x) + 2 cos^{2} (x) cos (x)

2 \cdot 1 \cdot cos (x) = 2 cos (x)

2 \cdot 1 cos (x)

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= 2 cos (x)

2 cos^{2} (x) cos (x) = 2 cos^{3} (x)

2 cos^{2} (x) cos (x)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos^{2} (x) cos (x) = cos^{2 + 1} (x)

= 2 cos^{2 + 1} (x)

Somar:

2 + 1 = 3

= 2 cos^{3} (x)

= - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

= - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

= 2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

Simplificar

2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x) : 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

Agrupar termos semelhantes

= 2 cos^{3} (x) + 2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x)

Somar elementos similares:

2 cos^{3} (x) + 2 cos^{3} (x) = 4 cos^{3} (x)

= 4 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x)

Somar elementos similares:

- cos (x) - 2 cos (x) = - 3 cos (x)

= 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

= 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

= 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

= - 1 - cos (x) + 2 (4 cos^{3} (x) - 3 cos (x))

Simplificar

- 1 - cos (x) + 2 (4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)) : - 7 cos (x) + 8 cos^{3} (x) - 1

- 1 - cos (x) + 2 (4 cos^{3} (x) - 3 cos (x))

Expandir

2 (4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)) : 8 cos^{3} (x) - 6 cos (x)

2 (4 cos^{3} (x) - 3 cos (x))

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 4 cos^{3} (x), c = 3 cos (x)

= 2 \cdot 4 cos^{3} (x) - 2 \cdot 3 cos (x)

Simplificar

2 \cdot 4 cos^{3} (x) - 2 \cdot 3 cos (x) : 8 cos^{3} (x) - 6 cos (x)

2 \cdot 4 cos^{3} (x) - 2 \cdot 3 cos (x)

Multiplicar os números:

2 \cdot 4 = 8

= 8 cos^{3} (x) - 2 \cdot 3 cos (x)

Multiplicar os números:

2 \cdot 3 = 6

= 8 cos^{3} (x) - 6 cos (x)

= 8 cos^{3} (x) - 6 cos (x)

= - 1 - cos (x) + 8 cos^{3} (x) - 6 cos (x)

Simplificar

- 1 - cos (x) + 8 cos^{3} (x) - 6 cos (x) : - 7 cos (x) + 8 cos^{3} (x) - 1

- 1 - cos (x) + 8 cos^{3} (x) - 6 cos (x)

Agrupar termos semelhantes

= - cos (x) + 8 cos^{3} (x) - 6 cos (x) - 1

Somar elementos similares:

- cos (x) - 6 cos (x) = - 7 cos (x)

= - 7 cos (x) + 8 cos^{3} (x) - 1

= - 7 cos (x) + 8 cos^{3} (x) - 1

= - 7 cos (x) + 8 cos^{3} (x) - 1

- 1 - 7 cos (x) + 8 cos^{3} (x) = 0

Usando o método de substituição

- 1 - 7 cos (x) + 8 cos^{3} (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

- 1 - 7 u + 8 u^{3} = 0

- 1 - 7 u + 8 u^{3} = 0 : u = 1, u = \frac{- 2 + 2}{4}, u = - \frac{2 + 2}{4}

- 1 - 7 u + 8 u^{3} = 0

Escrever na forma padrão

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

8 u^{3} - 7 u - 1 = 0

Fatorar

8 u^{3} - 7 u - 1 : (u - 1) (8 u^{2} + 8 u + 1)

8 u^{3} - 7 u - 1

Utilizar o teorema das raízes racionais

a_{0} = 1, a_{n} = 8

Os divisores de

a_{0} : 1,

Os divisores de

a_{n} : 1, 2, 4, 8

Portanto, verificar os seguintes números racionais:

\pm \frac{1}{1 , 2 , 4 , 8}

\frac{1}{1}

é a raiz da expressão, portanto, fatorar

u - 1

= (u - 1) \frac{8 u ^{3} - 7 u - 1}{u - 1}

\frac{8 u ^{3} - 7 u - 1}{u - 1} = 8 u^{2} + 8 u + 1

\frac{8 u ^{3} - 7 u - 1}{u - 1}

Dividir

\frac{8 u ^{3} - 7 u - 1}{u - 1} : \frac{8 u ^{3} - 7 u - 1}{u - 1} = 8 u^{2} + \frac{8 u ^{2} - 7 u - 1}{u - 1}

Dividir os coeficientes dos termos de maior grau do numerador

8 u^{3} - 7 u - 1

e o divisor

u - 1 : \frac{8 u ^{3}}{u} = 8 u^{2}

Quociente = 8 u^{2}

Multiplicar

u - 1

por

8 u^{2} : 8 u^{3} - 8 u^{2}

Subtrair

8 u^{3} - 8 u^{2}

8 u^{3} - 7 u - 1

para obter um novo resto

Resto = 8 u^{2} - 7 u - 1

Portanto

\frac{8 u ^{3} - 7 u - 1}{u - 1} = 8 u^{2} + \frac{8 u ^{2} - 7 u - 1}{u - 1}

= 8 u^{2} + \frac{8 u ^{2} - 7 u - 1}{u - 1}

Dividir

\frac{8 u ^{2} - 7 u - 1}{u - 1} : \frac{8 u ^{2} - 7 u - 1}{u - 1} = 8 u + \frac{u - 1}{u - 1}

Dividir os coeficientes dos termos de maior grau do numerador

8 u^{2} - 7 u - 1

e o divisor

u - 1 : \frac{8 u ^{2}}{u} = 8 u

Quociente = 8 u

Multiplicar

u - 1

por

8 u : 8 u^{2} - 8 u

Subtrair

8 u^{2} - 8 u

8 u^{2} - 7 u - 1

para obter um novo resto

Resto = u - 1

Portanto

\frac{8 u ^{2} - 7 u - 1}{u - 1} = 8 u + \frac{u - 1}{u - 1}

= 8 u^{2} + 8 u + \frac{u - 1}{u - 1}

Dividir

\frac{u - 1}{u - 1} : \frac{u - 1}{u - 1} = 1

Dividir os coeficientes dos termos de maior grau do numerador

u - 1

e o divisor

u - 1 : \frac{u}{u} = 1

Quociente = 1

Multiplicar

u - 1

por

1 : u - 1

Subtrair

u - 1

u - 1

para obter um novo resto

Resto = 0

Portanto

\frac{u - 1}{u - 1} = 1

= 8 u^{2} + 8 u + 1

= (u - 1) (8 u^{2} + 8 u + 1)

(u - 1) (8 u^{2} + 8 u + 1) = 0

Usando o princípio do fator zero: Se

ab = 0

então

a = 0

b = 0

u - 1 = 0 or 8 u^{2} + 8 u + 1 = 0

Resolver

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Mova

1

para o lado direito

u - 1 = 0

Adicionar

1

a ambos os lados

u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

u = 1

u = 1

Resolver

8 u^{2} + 8 u + 1 = 0 : u = \frac{- 2 + 2}{4}, u = - \frac{2 + 2}{4}

8 u^{2} + 8 u + 1 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

8 u^{2} + 8 u + 1 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = 8, b = 8, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 1}{2 \cdot 8}

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 1}{2 \cdot 8}

8^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 1 = 42

8^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 1

Multiplicar os números:

4 \cdot 8 \cdot 1 = 32

= 8^{2} - 32

8^{2} = 64

= 64 - 32

Subtrair:

64 - 32 = 32

= 32

Decomposição em fatores primos de

32 : 2^{5}

32

32

dividida por

232 = 16 \cdot 2

= 2 \cdot 16

16

dividida por

216 = 8 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 8

8

dividida por

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4

4

dividida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

2

es un número primo, por lo tanto, não é possível fatorá-lo mais

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{5}

= 2^{5}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{4} \cdot 2

Aplicar as propriedades dos radicais:

n ab = n a n b

= 2 2^{4}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 2

Simplificar

= 42

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 4 2}{2 \cdot 8}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- 8 + 4 2}{2 \cdot 8}, u_{2} = \frac{- 8 - 4 2}{2 \cdot 8}

u = \frac{- 8 + 4 2}{2 \cdot 8} : \frac{- 2 + 2}{4}

\frac{- 8 + 4 2}{2 \cdot 8}

Multiplicar os números:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{- 8 + 4 2}{16}

Fatorar

- 8 + 42 : 4 (- 2 + 2)

- 8 + 42

Reescrever como

= - 4 \cdot 2 + 42

Fatorar o termo comum

4

= 4 (- 2 + 2)

= \frac{4 ( - 2 + 2 )}{16}

Eliminar o fator comum:

4

= \frac{- 2 + 2}{4}

u = \frac{- 8 - 4 2}{2 \cdot 8} : - \frac{2 + 2}{4}

\frac{- 8 - 4 2}{2 \cdot 8}

Multiplicar os números:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{- 8 - 4 2}{16}

Fatorar

- 8 - 42 : - 4 (2 + 2)

- 8 - 42

Reescrever como

= - 4 \cdot 2 - 42

Fatorar o termo comum

4

= - 4 (2 + 2)

= - \frac{4 ( 2 + 2 )}{16}

Eliminar o fator comum:

4

= - \frac{2 + 2}{4}

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = \frac{- 2 + 2}{4}, u = - \frac{2 + 2}{4}

As soluções são

u = 1, u = \frac{- 2 + 2}{4}, u = - \frac{2 + 2}{4}

Substituir na equação

u = cos (x)

cos (x) = 1, cos (x) = \frac{- 2 + 2}{4}, cos (x) = - \frac{2 + 2}{4}

cos (x) = 1, cos (x) = \frac{- 2 + 2}{4}, cos (x) = - \frac{2 + 2}{4}

cos (x) = 1 : x = 2 πn

cos (x) = 1

Soluções gerais para

cos (x) = 1

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Resolver

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

cos (x) = \frac{- 2 + 2}{4} : x = arccos (\frac{- 2 + 2}{4}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{- 2 + 2}{4}) + 2 πn

cos (x) = \frac{- 2 + 2}{4}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cos (x) = \frac{- 2 + 2}{4}

Soluções gerais para

cos (x) = \frac{- 2 + 2}{4}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (\frac{- 2 + 2}{4}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{- 2 + 2}{4}) + 2 πn

x = arccos (\frac{- 2 + 2}{4}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{- 2 + 2}{4}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{2 + 2}{4} : x = arccos (- \frac{2 + 2}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 + 2}{4}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{2 + 2}{4}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cos (x) = - \frac{2 + 2}{4}

Soluções gerais para

cos (x) = - \frac{2 + 2}{4}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{2 + 2}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 + 2}{4}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{2 + 2}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 + 2}{4}) + 2 πn

Combinar toda as soluções

x = 2 πn, x = arccos (\frac{- 2 + 2}{4}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{- 2 + 2}{4}) + 2 πn, x = arccos (- \frac{2 + 2}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 + 2}{4}) + 2 πn

Mostrar soluções na forma decimal

x = 2 πn, x = 1.71777 \dots + 2 πn, x = - 1.71777 \dots + 2 πn, x = 2.59356 \dots + 2 πn, x = - 2.59356 \dots + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

sqrt(2)csc(x)-2=0

2 csc (x) - 2 = 0

90=sin(x)

90 = sin (x)

sin(2x)csc(x)=1,0<= x<= 2pi

sin (2 x) csc (x) = 1, 0 \leq x \leq 2 π

tan(b)=sqrt(3)

tan (b) = 3

sin(x)= 12/16

sin (x) = \frac{12}{16}