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2cos(x)=cos^2(x)-1

Solución

2 cos (x) = cos^{2} (x) - 1

Solución

x = 1.99787 \dots + 2 πn, x = - 1.99787 \dots + 2 πn

Grados

x = 114.46980 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 114.46980 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Pasos de solución

2 cos (x) = cos^{2} (x) - 1

Usando el método de sustitución

2 cos (x) = cos^{2} (x) - 1

Sea:

cos (x) = u

2 u = u^{2} - 1

2 u = u^{2} - 1 : u = 1 + 2, u = 1 - 2

2 u = u^{2} - 1

Intercambiar lados

u^{2} - 1 = 2 u

Mover

2 u

al lado izquierdo

u^{2} - 1 = 2 u

Restar

2 u

de ambos lados

u^{2} - 1 - 2 u = 2 u - 2 u

Simplificar

u^{2} - 1 - 2 u = 0

u^{2} - 1 - 2 u = 0

Escribir en la forma binómica

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} - 2 u - 1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

u^{2} - 2 u - 1 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 1, b = - 2, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 22

(- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Aplicar las leyes de los exponentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

es par

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 2^{2} + 4

2^{2} = 4

= 4 + 4

Sumar:

4 + 4 = 8

= 8

Descomposición en factores primos de

8 : 2^{3}

8

8

divida por

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 4

4

divida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

es un número primo, por lo tanto, no es posible factorizar mas

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

Aplicar las leyes de los exponentes:

= 2 2^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

2^{2} = 2

= 22

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2 2}{2 \cdot 1}

Separar las soluciones

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2 2}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2 2}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2 2}{2 \cdot 1} : 1 + 2

\frac{- ( - 2 ) + 2 2}{2 \cdot 1}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{2 + 2 2}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2 + 2 2}{2}

Factorizar

2 + 22 : 2 (1 + 2)

2 + 22

Reescribir como

= 2 \cdot 1 + 22

Factorizar el termino común

2

= 2 (1 + 2)

= \frac{2 ( 1 + 2 )}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= 1 + 2

u = \frac{- ( - 2 ) - 2 2}{2 \cdot 1} : 1 - 2

\frac{- ( - 2 ) - 2 2}{2 \cdot 1}

Aplicar la regla

- (- a) = a

= \frac{2 - 2 2}{2 \cdot 1}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2 - 2 2}{2}

Factorizar

2 - 22 : 2 (1 - 2)

2 - 22

Reescribir como

= 2 \cdot 1 - 22

Factorizar el termino común

2

= 2 (1 - 2)

= \frac{2 ( 1 - 2 )}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= 1 - 2

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

u = 1 + 2, u = 1 - 2

Sustituir en la ecuación

u = cos (x)

cos (x) = 1 + 2, cos (x) = 1 - 2

cos (x) = 1 + 2, cos (x) = 1 - 2

cos (x) = 1 + 2 :

Sin solución

cos (x) = 1 + 2

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n

cos (x) = 1 - 2 : x = arccos (1 - 2) + 2 πn, x = - arccos (1 - 2) + 2 πn

cos (x) = 1 - 2

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

cos (x) = 1 - 2

Soluciones generales para

cos (x) = 1 - 2

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (1 - 2) + 2 πn, x = - arccos (1 - 2) + 2 πn

x = arccos (1 - 2) + 2 πn, x = - arccos (1 - 2) + 2 πn

Combinar toda las soluciones

x = arccos (1 - 2) + 2 πn, x = - arccos (1 - 2) + 2 πn

Mostrar soluciones en forma decimal

x = 1.99787 \dots + 2 πn, x = - 1.99787 \dots + 2 πn

Ejemplos populares

2sin(v)csc(v)-csc(v)=4sin(v)-2

2 sin (v) csc (v) - csc (v) = 4 sin (v) - 2

2cos(2x)=4cos(x)

2 cos (2 x) = 4 cos (x)

(sin(42))/(22)=(sin(B))/(12)

\frac{sin ( 4 2 ^{\circ} )}{22} = \frac{sin ( B )}{12}

sin(θ)= 16/14

sin (θ) = \frac{16}{14}

tan(θ)= 83/47

tan (θ) = \frac{83}{47}