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Beliebt Trigonometrie >

2+cos(x)=3(cos^2(x))/2+(sin^2(x))/2

Lösung

2 + cos (x) = 3 \frac{cos ^{2} ( x )}{2} + \frac{sin ^{2} ( x )}{2}

Lösung

x = 2.53724 \dots + 2 πn, x = - 2.53724 \dots + 2 πn

Grad

x = 145.37370 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 145.37370 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 + cos (x) = 3 \cdot \frac{cos ^{2} ( x )}{2} + \frac{sin ^{2} ( x )}{2}

Subtrahiere

3 \frac{cos ^{2} ( x )}{2} + \frac{sin ^{2} ( x )}{2}

von beiden Seiten

2 + cos (x) - \frac{3 cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{2} = 0

Vereinfache

2 + cos (x) - \frac{3 cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{2} : \frac{4 + 2 cos ( x ) - 3 cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{2}

2 + cos (x) - \frac{3 cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{2}

Wandle das Element in einen Bruch um:

2 = \frac{2 \cdot 2}{2}, cos (x) = \frac{cos ( x ) 2}{2}

= \frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{cos ( x ) \cdot 2}{2} - \frac{3 cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{2}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 \cdot 2 + cos ( x ) \cdot 2 - ( 3 cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) )}{2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4 + 2 cos ( x ) - ( 3 cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) )}{2}

Multipliziere aus

4 + cos (x) \cdot 2 - (3 cos^{2} (x) + sin^{2} (x)) : 4 + cos (x) \cdot 2 - 3 cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

4 + cos (x) \cdot 2 - (3 cos^{2} (x) + sin^{2} (x))

= 4 + 2 cos (x) - (3 cos^{2} (x) + sin^{2} (x))

- (3 cos^{2} (x) + sin^{2} (x)) : - 3 cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

- (3 cos^{2} (x) + sin^{2} (x))

Setze Klammern

= - (3 cos^{2} (x)) - (sin^{2} (x))

Wende Minus-Plus Regeln an

+ (- a) = - a

= - 3 cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

= 4 + cos (x) \cdot 2 - 3 cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

= \frac{4 + 2 cos ( x ) - 3 cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{2}

\frac{4 + 2 cos ( x ) - 3 cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{2} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

4 + 2 cos (x) - 3 cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

4 - sin^{2} (x) + 2 cos (x) - 3 cos^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= 4 - (1 - cos^{2} (x)) + 2 cos (x) - 3 cos^{2} (x)

Vereinfache

4 - (1 - cos^{2} (x)) + 2 cos (x) - 3 cos^{2} (x) : 2 cos (x) - 2 cos^{2} (x) + 3

4 - (1 - cos^{2} (x)) + 2 cos (x) - 3 cos^{2} (x)

- (1 - cos^{2} (x)) : - 1 + cos^{2} (x)

- (1 - cos^{2} (x))

Setze Klammern

= - (1) - (- cos^{2} (x))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + cos^{2} (x)

= 4 - 1 + cos^{2} (x) + 2 cos (x) - 3 cos^{2} (x)

Vereinfache

4 - 1 + cos^{2} (x) + 2 cos (x) - 3 cos^{2} (x) : 2 cos (x) - 2 cos^{2} (x) + 3

4 - 1 + cos^{2} (x) + 2 cos (x) - 3 cos^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= cos^{2} (x) + 2 cos (x) - 3 cos^{2} (x) + 4 - 1

Addiere gleiche Elemente:

cos^{2} (x) - 3 cos^{2} (x) = - 2 cos^{2} (x)

= - 2 cos^{2} (x) + 2 cos (x) + 4 - 1

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

4 - 1 = 3

= 2 cos (x) - 2 cos^{2} (x) + 3

= 2 cos (x) - 2 cos^{2} (x) + 3

= 2 cos (x) - 2 cos^{2} (x) + 3

3 + 2 cos (x) - 2 cos^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

3 + 2 cos (x) - 2 cos^{2} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

3 + 2 u - 2 u^{2} = 0

3 + 2 u - 2 u^{2} = 0 : u = - \frac{- 1 + 7}{2}, u = \frac{1 + 7}{2}

3 + 2 u - 2 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} + 2 u + 3 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 2 u^{2} + 2 u + 3 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 2, b = 2, c = 3

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 3}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 3}{2 ( - 2 )}

2^{2} - 4 (- 2) \cdot 3 = 27

2^{2} - 4 (- 2) \cdot 3

Wende Regel an

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 3 = 24

= 2^{2} + 24

2^{2} = 4

= 4 + 24

Addiere die Zahlen:

4 + 24 = 28

= 28

Primfaktorzerlegung von

28 : 2^{2} \cdot 7

28

28

ist durch

228 = 14 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 14

14

ist durch

214 = 7 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 7

2, 7

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 7

= 2^{2} \cdot 7

= 2^{2} \cdot 7

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 7 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 27

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 7}{2 ( - 2 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 2 + 2 7}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 7}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- 2 + 2 7}{2 ( - 2 )} : - \frac{- 1 + 7}{2}

\frac{- 2 + 2 7}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 2 + 2 7}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2 + 2 7}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 2 + 2 7}{4}

Streiche

\frac{- 2 + 2 7}{4} : \frac{7 - 1}{2}

\frac{- 2 + 2 7}{4}

Faktorisiere

- 2 + 27 : 2 (- 1 + 7)

- 2 + 27

Schreibe um

= - 2 \cdot 1 + 27

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (- 1 + 7)

= \frac{2 ( - 1 + 7 )}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{- 1 + 7}{2}

= - \frac{7 - 1}{2}

= - \frac{- 1 + 7}{2}

u = \frac{- 2 - 2 7}{2 ( - 2 )} : \frac{1 + 7}{2}

\frac{- 2 - 2 7}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 2 - 2 7}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2 - 2 7}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 2 - 27 = - (2 + 27)

= \frac{2 + 2 7}{4}

Faktorisiere

2 + 27 : 2 (1 + 7)

2 + 27

Schreibe um

= 2 \cdot 1 + 27

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (1 + 7)

= \frac{2 ( 1 + 7 )}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1 + 7}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{- 1 + 7}{2}, u = \frac{1 + 7}{2}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - \frac{- 1 + 7}{2}, cos (x) = \frac{1 + 7}{2}

cos (x) = - \frac{- 1 + 7}{2}, cos (x) = \frac{1 + 7}{2}

cos (x) = - \frac{- 1 + 7}{2} : x = arccos (- \frac{- 1 + 7}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 7}{2}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{- 1 + 7}{2}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - \frac{- 1 + 7}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{- 1 + 7}{2}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 1 + 7}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 7}{2}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 1 + 7}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 7}{2}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1 + 7}{2} :

Keine Lösung

cos (x) = \frac{1 + 7}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (- \frac{- 1 + 7}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 7}{2}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 2.53724 \dots + 2 πn, x = - 2.53724 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin^2(x)+sin^6(x)=3cos^2(2x)

sin^{2} (x) + sin^{6} (x) = 3 cos^{2} (2 x)

cot^2(x)-7cot(x)+10=0

cot^{2} (x) - 7 cot (x) + 10 = 0

solvefor x,r-2s+t=sin(2x+3y)

so l v e f or x, r - 2 s + t = sin (2 x + 3 y)

sin^5(a)=16sin^5(a)-20sin^3(a)+5sin(a)

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tan(b)= 1/2

tan (b) = \frac{1}{2}