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Beliebt Trigonometrie >

sinh(z)=-1

Lösung

sinh (z) = - 1

Lösung

z = ln (- 1 + 2)

Grad

z = - 50.49898 \dots^{\circ}

Schritte zur Lösung

sinh (z) = - 1

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sinh (z) = - 1

Hyperbolische Identität anwenden:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{z} - e ^{- z}}{2} = - 1

\frac{e ^{z} - e ^{- z}}{2} = - 1

\frac{e ^{z} - e ^{- z}}{2} = - 1 : z = ln (- 1 + 2)

\frac{e ^{z} - e ^{- z}}{2} = - 1

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{e ^{z} - e ^{- z}}{2} \cdot 2 = - 1 \cdot 2

Vereinfache

e^{z} - e^{- z} = - 2

Wende Exponentenregel an

e^{z} - e^{- z} = - 2

Wende Exponentenregel an:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- z} = (e^{z})^{- 1}

e^{z} - (e^{z})^{- 1} = - 2

e^{z} - (e^{z})^{- 1} = - 2

Schreibe die Gleichung um mit

e^{z} = u

u - (u)^{- 1} = - 2

Löse

u - u^{- 1} = - 2 : u = - 1 + 2, u = - 1 - 2

u - u^{- 1} = - 2

Fasse zusammen

u - \frac{1}{u} = - 2

Multipliziere beide Seiten mit

u

u - \frac{1}{u} = - 2

Multipliziere beide Seiten mit

u

uu - \frac{1}{u} u = - 2 u

Vereinfache

uu - \frac{1}{u} u = - 2 u

Vereinfache

uu : u^{2}

uu

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= u^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= u^{2}

Vereinfache

- \frac{1}{u} u : - 1

- \frac{1}{u} u

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{1 \cdot u}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= - 1

u^{2} - 1 = - 2 u

u^{2} - 1 = - 2 u

u^{2} - 1 = - 2 u

Löse

u^{2} - 1 = - 2 u : u = - 1 + 2, u = - 1 - 2

u^{2} - 1 = - 2 u

Verschiebe

2 u

auf die linke Seite

u^{2} - 1 = - 2 u

Füge

2 u

zu beiden Seiten hinzu

u^{2} - 1 + 2 u = - 2 u + 2 u

Vereinfache

u^{2} - 1 + 2 u = 0

u^{2} - 1 + 2 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} + 2 u - 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

u^{2} + 2 u - 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = 2, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 22

2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 2^{2} + 4

2^{2} = 4

= 4 + 4

Addiere die Zahlen:

4 + 4 = 8

= 8

Primfaktorzerlegung von

8 : 2^{3}

8

8

ist durch

28 = 4 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine weitere Faktorisierung möglich.

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 22

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 2}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 2 + 2 2}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 2}{2 \cdot 1}

u = \frac{- 2 + 2 2}{2 \cdot 1} : - 1 + 2

\frac{- 2 + 2 2}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2 + 2 2}{2}

Faktorisiere

- 2 + 22 : 2 (- 1 + 2)

- 2 + 22

Schreibe um

= - 2 \cdot 1 + 22

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (- 1 + 2)

= \frac{2 ( - 1 + 2 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= - 1 + 2

u = \frac{- 2 - 2 2}{2 \cdot 1} : - 1 - 2

\frac{- 2 - 2 2}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2 - 2 2}{2}

Faktorisiere

- 2 - 22 : - 2 (1 + 2)

- 2 - 22

Schreibe um

= - 2 \cdot 1 - 22

Klammere gleiche Terme aus

2

= - 2 (1 + 2)

= - \frac{2 ( 1 + 2 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= - (1 + 2)

Negiere die Vorzeichen

- (1 + 2) = - 1 - 2

= - 1 - 2

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - 1 + 2, u = - 1 - 2

u = - 1 + 2, u = - 1 - 2

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

u - u^{- 1}

und vergleiche mit Null

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = - 1 + 2, u = - 1 - 2

u = - 1 + 2, u = - 1 - 2

Setze

u = e^{z} w i e d er e in,

löse für

z

Löse

e^{z} = - 1 + 2 : z = ln (- 1 + 2)

e^{z} = - 1 + 2

Wende Exponentenregel an

e^{z} = - 1 + 2

Wenn

f (x) = g (x)

, dann

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{z}) = ln (- 1 + 2)

Wende die log Regel an:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{z}) = z

z = ln (- 1 + 2)

z = ln (- 1 + 2)

Löse

e^{z} = - 1 - 2 :

Keine Lösung für

z \in R

e^{z} = - 1 - 2

a^{f (z)}

darf nicht null oder negativ sein

z \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r z \in R

z = ln (- 1 + 2)

z = ln (- 1 + 2)

Graph

Beliebte Beispiele

1+cos^2(a)=2cos^2(a)

1 + cos^{2} (a) = 2 cos^{2} (a)

sin(x)= 15/18

sin (x) = \frac{15}{18}

cos(5x)=cos(5+x)

cos (5 x) = cos (5 + x)

6cos^2(x)-7cos(x)-5=0

6 cos^{2} (x) - 7 cos (x) - 5 = 0

cos(x)=(-3)/(5sin^2(x))

cos (x) = \frac{- 3}{5 sin ^{2} ( x )}