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2sin^2(x)+sin^3(x)-1=0

Lösung

2 sin^{2} (x) + sin^{3} (x) - 1 = 0

Lösung

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 0.66623 \dots + 2 πn, x = π - 0.66623 \dots + 2 πn

Grad

x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 38.17270 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 141.82729 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 sin^{2} (x) + sin^{3} (x) - 1 = 0

Löse mit Substitution

2 sin^{2} (x) + sin^{3} (x) - 1 = 0

Angenommen:

sin (x) = u

2 u^{2} + u^{3} - 1 = 0

2 u^{2} + u^{3} - 1 = 0 : u = - 1, u = \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{- 1 - 5}{2}

2 u^{2} + u^{3} - 1 = 0

Schreibe in der Standard Form

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

u^{3} + 2 u^{2} - 1 = 0

Faktorisiere

u^{3} + 2 u^{2} - 1 : (u + 1) (u^{2} + u - 1)

u^{3} + 2 u^{2} - 1

Wende den rationalen Nullstellentest an

a_{0} = 1, a_{n} = 1

Die Teiler von

a_{0} : 1,

Die Teiler von

a_{n} : 1

Deshalb, überprüfe die folgenden rationalen Zahlen:

\pm \frac{1}{1}

- \frac{1}{1}

ist eine Wurzel des Ausdrucks, deshalb klammere aus

u + 1

= (u + 1) \frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 1}{u + 1}

\frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 1}{u + 1} = u^{2} + u - 1

\frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 1}{u + 1}

Dividiere

\frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 1}{u + 1} : \frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 1}{u + 1} = u^{2} + \frac{u ^{2} - 1}{u + 1}

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

u^{3} + 2 u^{2} - 1

und des Teilers

u + 1 : \frac{u ^{3}}{u} = u^{2}

Quotient = u^{2}

Multipliziere

u + 1

mit

u^{2} : u^{3} + u^{2}

Substrahiere

u^{3} + u^{2}

von

u^{3} + 2 u^{2} - 1

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = u^{2} - 1

Deshalb

\frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 1}{u + 1} = u^{2} + \frac{u ^{2} - 1}{u + 1}

= u^{2} + \frac{u ^{2} - 1}{u + 1}

Dividiere

\frac{u ^{2} - 1}{u + 1} : \frac{u ^{2} - 1}{u + 1} = u + \frac{- u - 1}{u + 1}

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

u^{2} - 1

und des Teilers

u + 1 : \frac{u ^{2}}{u} = u

Quotient = u

Multipliziere

u + 1

mit

u : u^{2} + u

Substrahiere

u^{2} + u

von

u^{2} - 1

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = - u - 1

Deshalb

\frac{u ^{2} - 1}{u + 1} = u + \frac{- u - 1}{u + 1}

= u^{2} + u + \frac{- u - 1}{u + 1}

Dividiere

\frac{- u - 1}{u + 1} : \frac{- u - 1}{u + 1} = - 1

Dividiere die Hauptkoeffizienten des Zählers

- u - 1

und des Teilers

u + 1 : \frac{- u}{u} = - 1

Quotient = - 1

Multipliziere

u + 1

mit

- 1 : - u - 1

Substrahiere

- u - 1

von

- u - 1

, um einen neuen Restbetrag zu erhalten

Rest = 0

Deshalb

\frac{- u - 1}{u + 1} = - 1

= u^{2} + u - 1

= (u + 1) (u^{2} + u - 1)

(u + 1) (u^{2} + u - 1) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

u + 1 = 0 or u^{2} + u - 1 = 0

Löse

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

u = - 1

u = - 1

Löse

u^{2} + u - 1 = 0 : u = \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{- 1 - 5}{2}

u^{2} + u - 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

u^{2} + u - 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = 1, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 5

1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 1 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 1 + 4

Addiere die Zahlen:

1 + 4 = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 5}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 1 + 5}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- 1 - 5}{2 \cdot 1}

u = \frac{- 1 + 5}{2 \cdot 1} : \frac{- 1 + 5}{2}

\frac{- 1 + 5}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 + 5}{2}

u = \frac{- 1 - 5}{2 \cdot 1} : \frac{- 1 - 5}{2}

\frac{- 1 - 5}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 - 5}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{- 1 - 5}{2}

Die Lösungen sind

u = - 1, u = \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{- 1 - 5}{2}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = - 1, sin (x) = \frac{- 1 + 5}{2}, sin (x) = \frac{- 1 - 5}{2}

sin (x) = - 1, sin (x) = \frac{- 1 + 5}{2}, sin (x) = \frac{- 1 - 5}{2}

sin (x) = - 1 : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = - 1

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{2} : x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{2}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{2}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

sin (x) = \frac{- 1 - 5}{2} :

Keine Lösung

sin (x) = \frac{- 1 - 5}{2}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 0.66623 \dots + 2 πn, x = π - 0.66623 \dots + 2 πn

Beliebte Beispiele

2cos^2(x)=3cos(x)-1

2 cos^{2} (x) = 3 cos (x) - 1

sin^2(x)-4sin(x)+4=0

sin^{2} (x) - 4 sin (x) + 4 = 0

3cos^2(x)-10cos(x)+3=0

3 cos^{2} (x) - 10 cos (x) + 3 = 0

(m+1)sin(x)+2-m=0

(m + 1) sin (x) + 2 - m = 0

sin^5(x)+sin(x)+2sin^2(x)=1

sin^{5} (x) + sin (x) + 2 sin^{2} (x) = 1