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人気のある三角関数 >

4sin(x)-6cos(x)=3

解

4 sin (x) - 6 cos (x) = 3

解

x = - 2.58786 \dots + 2 πn, x = 1.41186 \dots + 2 πn

+1

度

x = - 148.27395 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 80.89382 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

解答ステップ

4 sin (x) - 6 cos (x) = 3

両辺に

6 cos (x)

を足す

4 sin (x) = 3 + 6 cos (x)

両辺を2乗する

(4 sin (x))^{2} = (3 + 6 cos (x))^{2}

両辺から

(3 + 6 cos (x))^{2}

を引く

16 sin^{2} (x) - 9 - 36 cos (x) - 36 cos^{2} (x) = 0

三角関数の公式を使用して書き換える

- 9 + 16 sin^{2} (x) - 36 cos (x) - 36 cos^{2} (x)

ピタゴラスの公式を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 9 + 16 (1 - cos^{2} (x)) - 36 cos (x) - 36 cos^{2} (x)

簡素化

- 9 + 16 (1 - cos^{2} (x)) - 36 cos (x) - 36 cos^{2} (x) : - 52 cos^{2} (x) - 36 cos (x) + 7

- 9 + 16 (1 - cos^{2} (x)) - 36 cos (x) - 36 cos^{2} (x)

拡張

16 (1 - cos^{2} (x)) : 16 - 16 cos^{2} (x)

16 (1 - cos^{2} (x))

分配法則を適用する:

a (b - c) = ab - a c

a = 16, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 16 \cdot 1 - 16 cos^{2} (x)

数を乗じる:

16 \cdot 1 = 16

= 16 - 16 cos^{2} (x)

= - 9 + 16 - 16 cos^{2} (x) - 36 cos (x) - 36 cos^{2} (x)

簡素化

- 9 + 16 - 16 cos^{2} (x) - 36 cos (x) - 36 cos^{2} (x) : - 52 cos^{2} (x) - 36 cos (x) + 7

- 9 + 16 - 16 cos^{2} (x) - 36 cos (x) - 36 cos^{2} (x)

条件のようなグループ

= - 16 cos^{2} (x) - 36 cos (x) - 36 cos^{2} (x) - 9 + 16

類似した元を足す:

- 16 cos^{2} (x) - 36 cos^{2} (x) = - 52 cos^{2} (x)

= - 52 cos^{2} (x) - 36 cos (x) - 9 + 16

数を足す/引く:

- 9 + 16 = 7

= - 52 cos^{2} (x) - 36 cos (x) + 7

= - 52 cos^{2} (x) - 36 cos (x) + 7

= - 52 cos^{2} (x) - 36 cos (x) + 7

7 - 36 cos (x) - 52 cos^{2} (x) = 0

置換で解く

7 - 36 cos (x) - 52 cos^{2} (x) = 0

仮定:

cos (x) = u

7 - 36 u - 52 u^{2} = 0

7 - 36 u - 52 u^{2} = 0 : u = - \frac{9 + 2 43}{26}, u = \frac{2 43 - 9}{26}

7 - 36 u - 52 u^{2} = 0

標準的な形式で書く

a x^{2} + b x + c = 0

- 52 u^{2} - 36 u + 7 = 0

解くとthe二次式

- 52 u^{2} - 36 u + 7 = 0

二次Equationの公式:

次の場合:

a = - 52, b = - 36, c = 7

u_{1, 2} = \frac{- ( - 36 ) \pm ( - 36 ) ^{2} - 4 ( - 52 ) \cdot 7}{2 ( - 52 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 36 ) \pm ( - 36 ) ^{2} - 4 ( - 52 ) \cdot 7}{2 ( - 52 )}

(- 36)^{2} - 4 (- 52) \cdot 7 = 843

(- 36)^{2} - 4 (- 52) \cdot 7

規則を適用

- (- a) = a

= (- 36)^{2} + 4 \cdot 52 \cdot 7

指数の規則を適用する:

n

が偶数であれば

(- a)^{n} = a^{n}

(- 36)^{2} = 3 6^{2}

= 3 6^{2} + 4 \cdot 52 \cdot 7

数を乗じる:

4 \cdot 52 \cdot 7 = 1456

= 3 6^{2} + 1456

3 6^{2} = 1296

= 1296 + 1456

数を足す:

1296 + 1456 = 2752

= 2752

以下の素因数分解:

2752 : 2^{6} \cdot 43

2752

275222752 = 1376 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 1376

137621376 = 688 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 688

6882688 = 344 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 344

3442344 = 172 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 172

1722172 = 86 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 86

86286 = 43 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 43

2, 43

はすべて素数である。ゆえにさらに因数分解することはできない

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 43

= 2^{6} \cdot 43

= 2^{6} \cdot 43

累乗根の規則を適用する:

n ab = n a n b

= 43 2^{6}

累乗根の規則を適用する:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{6} = 2^{\frac{6}{2}} = 2^{3}

= 2^{3} 43

改良

= 843

u_{1, 2} = \frac{- ( - 36 ) \pm 8 43}{2 ( - 52 )}

解を分離する

u_{1} = \frac{- ( - 36 ) + 8 43}{2 ( - 52 )}, u_{2} = \frac{- ( - 36 ) - 8 43}{2 ( - 52 )}

u = \frac{- ( - 36 ) + 8 43}{2 ( - 52 )} : - \frac{9 + 2 43}{26}

\frac{- ( - 36 ) + 8 43}{2 ( - 52 )}

括弧を削除する:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{36 + 8 43}{- 2 \cdot 52}

数を乗じる:

2 \cdot 52 = 104

= \frac{36 + 8 43}{- 104}

分数の規則を適用する:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{36 + 8 43}{104}

キャンセル

\frac{36 + 8 43}{104} : \frac{9 + 2 43}{26}

\frac{36 + 8 43}{104}

因数

36 + 843 : 4 (9 + 243)

36 + 843

書き換え

= 4 \cdot 9 + 4 \cdot 243

共通項をくくり出す

4

= 4 (9 + 243)

= \frac{4 ( 9 + 2 43 )}{104}

共通因数を約分する:

4

= \frac{9 + 2 43}{26}

= - \frac{9 + 2 43}{26}

u = \frac{- ( - 36 ) - 8 43}{2 ( - 52 )} : \frac{2 43 - 9}{26}

\frac{- ( - 36 ) - 8 43}{2 ( - 52 )}

括弧を削除する:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{36 - 8 43}{- 2 \cdot 52}

数を乗じる:

2 \cdot 52 = 104

= \frac{36 - 8 43}{- 104}

分数の規則を適用する:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

36 - 843 = - (843 - 36)

= \frac{8 43 - 36}{104}

因数

843 - 36 : 4 (243 - 9)

843 - 36

書き換え

= 4 \cdot 243 - 4 \cdot 9

共通項をくくり出す

4

= 4 (243 - 9)

= \frac{4 ( 2 43 - 9 )}{104}

共通因数を約分する:

4

= \frac{2 43 - 9}{26}

二次equationの解:

u = - \frac{9 + 2 43}{26}, u = \frac{2 43 - 9}{26}

代用を戻す

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{9 + 2 43}{26}, cos (x) = \frac{2 43 - 9}{26}

cos (x) = - \frac{9 + 2 43}{26}, cos (x) = \frac{2 43 - 9}{26}

cos (x) = - \frac{9 + 2 43}{26} : x = arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{9 + 2 43}{26}

三角関数の逆数プロパティを適用する

cos (x) = - \frac{9 + 2 43}{26}

以下の一般解

cos (x) = - \frac{9 + 2 43}{26}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 43 - 9}{26} : x = arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 43 - 9}{26}

三角関数の逆数プロパティを適用する

cos (x) = \frac{2 43 - 9}{26}

以下の一般解

cos (x) = \frac{2 43 - 9}{26}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn

すべての解を組み合わせる

x = arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn, x = arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn

元のequationに当てはめて解を検算する

4 sin (x) - 6 cos (x) = 3

に当てはめて解を確認する

equationに一致しないものを削除する。

解答を確認する

arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn :

偽

arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn

挿入

n = 1

arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 π 1

4 sin (x) - 6 cos (x) = 3

の挿入向け

x = arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 π 1

4 sin (arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 π 1) - 6 cos (arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 π 1) = 3

改良

7.20686 \dots = 3

\Rightarrow 偽

解答を確認する

- arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn :

真

- arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn

挿入

n = 1

- arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 π 1

4 sin (x) - 6 cos (x) = 3

の挿入向け

x = - arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 π 1

4 sin (- arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 π 1) - 6 cos (- arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 π 1) = 3

改良

3 = 3

\Rightarrow 真

解答を確認する

arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn :

真

arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn

挿入

n = 1

arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 π 1

4 sin (x) - 6 cos (x) = 3

の挿入向け

x = arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 π 1

4 sin (arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 π 1) - 6 cos (arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 π 1) = 3

改良

3 = 3

\Rightarrow 真

解答を確認する

2 π - arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn :

偽

2 π - arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn

挿入

n = 1

2 π - arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 π 1

4 sin (x) - 6 cos (x) = 3

の挿入向け

x = 2 π - arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 π 1

4 sin (2 π - arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 π 1) - 6 cos (2 π - arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 π 1) = 3

改良

- 4.89917 \dots = 3

\Rightarrow 偽

x = - arccos (- \frac{9 + 2 43}{26}) + 2 πn, x = arccos (\frac{2 43 - 9}{26}) + 2 πn

10進法形式で解を証明する

x = - 2.58786 \dots + 2 πn, x = 1.41186 \dots + 2 πn

グラフ

人気の例

4cos(x)=cos^3(x)

4 cos (x) = cos^{3} (x)

cos^2(a)= 3/(5sin(a))

cos^{2} (a) = \frac{3}{5 sin ( a )}

3cos(x)=2sec(x)-5

3 cos (x) = 2 sec (x) - 5

sin(a/2)=(1/2)sin(a)

sin (\frac{a}{2}) = (\frac{1}{2}) sin (a)

cos(x/2)=cos(x)+1

cos (\frac{x}{2}) = cos (x) + 1