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dimostrare cos^4(x)-sin^4(x)=cos(2x)

Soluzione

dimostrare

cos^{4} (x) - sin^{4} (x) = cos (2 x)

Vero

Fasi della soluzione

cos^{4} (x) - sin^{4} (x) = cos (2 x)

Manipolando il lato sinistro

cos^{4} (x) - sin^{4} (x)

Fattorizza

cos^{4} (x) - sin^{4} (x) : (cos^{2} (x) + sin^{2} (x)) (cos (x) + sin (x)) (cos (x) - sin (x))

cos^{4} (x) - sin^{4} (x)

Riscrivi

cos^{4} (x) - sin^{4} (x)

come

(cos^{2} (x))^{2} - (sin^{2} (x))^{2}

cos^{4} (x) - sin^{4} (x)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

sin^{4} (x) = (sin^{2} (x))^{2}

= cos^{4} (x) - (sin^{2} (x))^{2}

Applica la regola degli esponenti:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

cos^{4} (x) = (cos^{2} (x))^{2}

= (cos^{2} (x))^{2} - (sin^{2} (x))^{2}

= (cos^{2} (x))^{2} - (sin^{2} (x))^{2}

Applicare la formula differenza di due quadrati:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(cos^{2} (x))^{2} - (sin^{2} (x))^{2} = (cos^{2} (x) + sin^{2} (x)) (cos^{2} (x) - sin^{2} (x))

= (cos^{2} (x) + sin^{2} (x)) (cos^{2} (x) - sin^{2} (x))

Fattorizza

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) : (cos (x) + sin (x)) (cos (x) - sin (x))

cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

Applicare la formula differenza di due quadrati:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = (cos (x) + sin (x)) (cos (x) - sin (x))

= (cos (x) + sin (x)) (cos (x) - sin (x))

= (cos^{2} (x) + sin^{2} (x)) (cos (x) + sin (x)) (cos (x) - sin (x))

= (cos (x) + sin (x)) (cos (x) - sin (x)) (cos^{2} (x) + sin^{2} (x))

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

(cos (x) + sin (x)) (cos (x) - sin (x)) (cos^{2} (x) + sin^{2} (x))

Usa l'identità pitagorica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= (cos (x) + sin (x)) (cos (x) - sin (x)) \cdot 1

Semplificare

= (cos (x) + sin (x)) (cos (x) - sin (x))

Espandi

(cos (x) + sin (x)) (cos (x) - sin (x)) : cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

(cos (x) + sin (x)) (cos (x) - sin (x))

Applicare la formula differenza di due quadrati:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = cos (x), b = sin (x)

= cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

= cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

Usare l'Identità Doppio Angolo:

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos (2 x)

= cos (2 x)

= cos (2 x)

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

4 sin^{2} (x) - 3 = 0

sec (\frac{3 π}{2})

cot (2 π)

sin^{2} (0)

cos (\frac{π}{8})