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simplificar log_{32}(5^{log_{5}(2)})

Solução

simplificar

lo g_{32} (5^{l o g_{5} (2)})

\frac{1}{5}

Decimal

0.2

Passos da solução

lo g_{32} (5^{l o g_{5} (2)})

Fatorar o número:

32 = 2^{5}

= lo g_{2^{5}} (5^{l o g_{5} (2)})

Aplicar as propriedades dos logaritmos:

lo g_{a^{b}} (x) = \frac{1}{b} lo g_{a} (x), a > 0

lo g_{2^{5}} (5^{l o g_{5} (2)}) = \frac{1}{5} lo g_{2} (5^{l o g_{5} (2)})

= \frac{1}{5} lo g_{2} (5^{l o g_{5} (2)})

Aplicar as propriedades dos logaritmos:

lo g_{a} (x^{b}) = b \cdot lo g_{a} (x), x > 0

lo g_{2} (5^{l o g_{5} (2)}) = lo g_{5} (2) lo g_{2} (5)

= \frac{1}{5} lo g_{5} (2) lo g_{2} (5)

Aplicar as propriedades dos logaritmos:

lo g_{a} (b) = \frac{lo g _{c} ( b )}{lo g _{c} ( a )}

lo g_{5} (2) = \frac{ln ( 2 )}{ln ( 5 )}

= \frac{1}{5} \cdot \frac{ln ( 2 )}{ln ( 5 )} lo g_{2} (5)

Aplicar as propriedades dos logaritmos:

lo g_{a} (b) = \frac{lo g _{c} ( b )}{lo g _{c} ( a )}

lo g_{2} (5) = \frac{ln ( 5 )}{ln ( 2 )}

= \frac{1}{5} \cdot \frac{ln ( 2 )}{ln ( 5 )} \cdot \frac{ln ( 5 )}{ln ( 2 )}

Cross cancel:

\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1

\frac{ln ( 2 )}{ln ( 5 )} \cdot \frac{ln ( 5 )}{ln ( 2 )} = 1

= \frac{1}{5} \cdot 1

Multiplicar os números:

\frac{1}{5} \cdot 1 = \frac{1}{5}

= \frac{1}{5}

s im pl i f y 7 x

e x p an d (2 x - 3 y)^{5}

s im pl i f y (11 + i) (4 - 4 i)

s im pl i f y - 1 + (- 4)

s im pl i f y \frac{1}{x} + x