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展開する (1-1/x)^{20}

解

展開する

(1 - \frac{1}{x})^{20}

解

1 - \frac{20}{x} + \frac{190}{x ^{2}} - \frac{1140}{x ^{3}} + \frac{4845}{x ^{4}} - \frac{15504}{x ^{5}} + \frac{38760}{x ^{6}} - \frac{77520}{x ^{7}} + \frac{125970}{x ^{8}} - \frac{167960}{x ^{9}} + \frac{184756}{x ^{10}} - \frac{167960}{x ^{11}} + \frac{125970}{x ^{12}} - \frac{77520}{x ^{13}} + \frac{38760}{x ^{14}} - \frac{15504}{x ^{15}} + \frac{4845}{x ^{16}} - \frac{1140}{x ^{17}} + \frac{190}{x ^{18}} - \frac{20}{x ^{19}} + \frac{1}{x ^{20}}

解答ステップ

(1 - \frac{1}{x})^{20}

2項定理を適用する:

(a + b)^{n} = i = 0 \sum n (i n) a^{(n - i)} b^{i}

a = 1, b = - \frac{1}{x}

= i = 0 \sum 20 (i 20) \cdot 1^{(20 - i)} (- \frac{1}{x})^{i}

総和を展開する

= \frac{20 !}{0 ! ( 20 - 0 ) !} \cdot 1^{20} (- \frac{1}{x})^{0} + \frac{20 !}{1 ! ( 20 - 1 ) !} \cdot 1^{19} (- \frac{1}{x})^{1} + \frac{20 !}{2 ! ( 20 - 2 ) !} \cdot 1^{18} (- \frac{1}{x})^{2} + \frac{20 !}{3 ! ( 20 - 3 ) !} \cdot 1^{17} (- \frac{1}{x})^{3} + \frac{20 !}{4 ! ( 20 - 4 ) !} \cdot 1^{16} (- \frac{1}{x})^{4} + \frac{20 !}{5 ! ( 20 - 5 ) !} \cdot 1^{15} (- \frac{1}{x})^{5} + \frac{20 !}{6 ! ( 20 - 6 ) !} \cdot 1^{14} (- \frac{1}{x})^{6} + \frac{20 !}{7 ! ( 20 - 7 ) !} \cdot 1^{13} (- \frac{1}{x})^{7} + \frac{20 !}{8 ! ( 20 - 8 ) !} \cdot 1^{12} (- \frac{1}{x})^{8} + \frac{20 !}{9 ! ( 20 - 9 ) !} \cdot 1^{11} (- \frac{1}{x})^{9} + \frac{20 !}{10 ! ( 20 - 10 ) !} \cdot 1^{10} (- \frac{1}{x})^{10} + \frac{20 !}{11 ! ( 20 - 11 ) !} \cdot 1^{9} (- \frac{1}{x})^{11} + \frac{20 !}{12 ! ( 20 - 12 ) !} \cdot 1^{8} (- \frac{1}{x})^{12} + \frac{20 !}{13 ! ( 20 - 13 ) !} \cdot 1^{7} (- \frac{1}{x})^{13} + \frac{20 !}{14 ! ( 20 - 14 ) !} \cdot 1^{6} (- \frac{1}{x})^{14} + \frac{20 !}{15 ! ( 20 - 15 ) !} \cdot 1^{5} (- \frac{1}{x})^{15} + \frac{20 !}{16 ! ( 20 - 16 ) !} \cdot 1^{4} (- \frac{1}{x})^{16} + \frac{20 !}{17 ! ( 20 - 17 ) !} \cdot 1^{3} (- \frac{1}{x})^{17} + \frac{20 !}{18 ! ( 20 - 18 ) !} \cdot 1^{2} (- \frac{1}{x})^{18} + \frac{20 !}{19 ! ( 20 - 19 ) !} \cdot 1^{1} (- \frac{1}{x})^{19} + \frac{20 !}{20 ! ( 20 - 20 ) !} \cdot 1^{0} (- \frac{1}{x})^{20}

簡素化

\frac{20 !}{0 ! ( 20 - 0 ) !} \cdot 1^{20} (- \frac{1}{x})^{0} : 1

簡素化

\frac{20 !}{1 ! ( 20 - 1 ) !} \cdot 1^{19} (- \frac{1}{x})^{1} : - \frac{20}{x}

簡素化

\frac{20 !}{2 ! ( 20 - 2 ) !} \cdot 1^{18} (- \frac{1}{x})^{2} : \frac{190}{x ^{2}}

簡素化

\frac{20 !}{3 ! ( 20 - 3 ) !} \cdot 1^{17} (- \frac{1}{x})^{3} : - \frac{1140}{x ^{3}}

簡素化

\frac{20 !}{4 ! ( 20 - 4 ) !} \cdot 1^{16} (- \frac{1}{x})^{4} : \frac{4845}{x ^{4}}

簡素化

\frac{20 !}{5 ! ( 20 - 5 ) !} \cdot 1^{15} (- \frac{1}{x})^{5} : - \frac{15504}{x ^{5}}

簡素化

\frac{20 !}{6 ! ( 20 - 6 ) !} \cdot 1^{14} (- \frac{1}{x})^{6} : \frac{38760}{x ^{6}}

簡素化

\frac{20 !}{7 ! ( 20 - 7 ) !} \cdot 1^{13} (- \frac{1}{x})^{7} : - \frac{77520}{x ^{7}}

簡素化

\frac{20 !}{8 ! ( 20 - 8 ) !} \cdot 1^{12} (- \frac{1}{x})^{8} : \frac{125970}{x ^{8}}

簡素化

\frac{20 !}{9 ! ( 20 - 9 ) !} \cdot 1^{11} (- \frac{1}{x})^{9} : - \frac{167960}{x ^{9}}

簡素化

\frac{20 !}{10 ! ( 20 - 10 ) !} \cdot 1^{10} (- \frac{1}{x})^{10} : \frac{184756}{x ^{10}}

簡素化

\frac{20 !}{11 ! ( 20 - 11 ) !} \cdot 1^{9} (- \frac{1}{x})^{11} : - \frac{167960}{x ^{11}}

簡素化

\frac{20 !}{12 ! ( 20 - 12 ) !} \cdot 1^{8} (- \frac{1}{x})^{12} : \frac{125970}{x ^{12}}

簡素化

\frac{20 !}{13 ! ( 20 - 13 ) !} \cdot 1^{7} (- \frac{1}{x})^{13} : - \frac{77520}{x ^{13}}

簡素化

\frac{20 !}{14 ! ( 20 - 14 ) !} \cdot 1^{6} (- \frac{1}{x})^{14} : \frac{38760}{x ^{14}}

簡素化

\frac{20 !}{15 ! ( 20 - 15 ) !} \cdot 1^{5} (- \frac{1}{x})^{15} : - \frac{15504}{x ^{15}}

簡素化

\frac{20 !}{16 ! ( 20 - 16 ) !} \cdot 1^{4} (- \frac{1}{x})^{16} : \frac{4845}{x ^{16}}

簡素化

\frac{20 !}{17 ! ( 20 - 17 ) !} \cdot 1^{3} (- \frac{1}{x})^{17} : - \frac{1140}{x ^{17}}

簡素化

\frac{20 !}{18 ! ( 20 - 18 ) !} \cdot 1^{2} (- \frac{1}{x})^{18} : \frac{190}{x ^{18}}

簡素化

\frac{20 !}{19 ! ( 20 - 19 ) !} \cdot 1^{1} (- \frac{1}{x})^{19} : - \frac{20}{x ^{19}}

簡素化

\frac{20 !}{20 ! ( 20 - 20 ) !} \cdot 1^{0} (- \frac{1}{x})^{20} : \frac{1}{x ^{20}}

= 1 - \frac{20}{x} + \frac{190}{x ^{2}} - \frac{1140}{x ^{3}} + \frac{4845}{x ^{4}} - \frac{15504}{x ^{5}} + \frac{38760}{x ^{6}} - \frac{77520}{x ^{7}} + \frac{125970}{x ^{8}} - \frac{167960}{x ^{9}} + \frac{184756}{x ^{10}} - \frac{167960}{x ^{11}} + \frac{125970}{x ^{12}} - \frac{77520}{x ^{13}} + \frac{38760}{x ^{14}} - \frac{15504}{x ^{15}} + \frac{4845}{x ^{16}} - \frac{1140}{x ^{17}} + \frac{190}{x ^{18}} - \frac{20}{x ^{19}} + \frac{1}{x ^{20}}

人気の例

展開する (1+sqrt(x))^3

e x p an d (1 + x)^{3}

簡約 (5-x^3)(2-3/(x+1))

s im pl i f y (5 - x^{3}) (2 - \frac{3}{x + 1})

展開する (r-sqrt(3)-sqrt(11))^2

e x p an d (r - 3 - 11)^{2}

展開する (2x-2)y''(x)-2xy'(x)+2y

e x p an d (2 x - 2) y^{''} (x) - 2 x y^{'} (x) + 2 y

展開する (x^2)/(16)+((10-x)^2)/(4pi)

e x p an d \frac{x ^{2}}{16} + \frac{( 10 - x ) ^{2}}{4 π}