簡約 1/((z-i)^2)

解

簡約

\frac{1}{( z - i ) ^{2}}

\frac{z ^{2} - 1}{z ^{4} + 2 z ^{2} + 1} + \frac{2 z}{z ^{4} + 2 z ^{2} + 1} i

解答ステップ

\frac{1}{( z - i ) ^{2}}

拡張

(z - i)^{2} : z^{2} - 2 z i - 1

= \frac{1}{z ^{2} - 2 z i - 1}

標準的な複素数形式で

z^{2} - 2 z i - 1

を書き換える:

(z^{2} - 1) - 2 z i

= \frac{1}{( z ^{2} - 1 ) - 2 z i}

共役で乗じる

\frac{( z ^{2} - 1 ) + 2 z i}{( z ^{2} - 1 ) + 2 z i}

= \frac{1 \cdot ( ( z ^{2} - 1 ) + 2 z i )}{( ( z ^{2} - 1 ) - 2 z i ) ( ( z ^{2} - 1 ) + 2 z i )}

簡素化

\frac{1 \cdot ( ( z ^{2} - 1 ) + 2 z i )}{( ( z ^{2} - 1 ) - 2 z i ) ( ( z ^{2} - 1 ) + 2 z i )} : \frac{z ^{2} - 1 + 2 z i}{z ^{4} + 2 z ^{2} + 1}

= \frac{z ^{2} - 1 + 2 z i}{z ^{4} + 2 z ^{2} + 1}

標準的な複素数形式で書き直す:

\frac{z ^{2} - 1}{z ^{4} + 2 z ^{2} + 1} + \frac{2 z}{z ^{4} + 2 z ^{2} + 1} i

= \frac{z ^{2} - 1}{z ^{4} + 2 z ^{2} + 1} + \frac{2 z}{z ^{4} + 2 z ^{2} + 1} i