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化简 (1+(2i)/n)^4

解答

化简

(1 + \frac{2 i}{n})^{4}

解答

\frac{n ^{4} - 24 n ^{2} + 16}{n ^{4}} + \frac{8 ( n + 2 ) ( n - 2 )}{n ^{3}} i

求解步骤

(1 + \frac{2 i}{n})^{4}

使用二项式定理:

(a + b)^{n} = i = 0 \sum n (i n) a^{(n - i)} b^{i}

a = 1, b = \frac{2 i}{n}

= i = 0 \sum 4 (i 4) \cdot 1^{(4 - i)} (\frac{2 i}{n})^{i}

展开求和

= \frac{4 !}{0 ! ( 4 - 0 ) !} \cdot 1^{4} (\frac{2 i}{n})^{0} + \frac{4 !}{1 ! ( 4 - 1 ) !} \cdot 1^{3} (\frac{2 i}{n})^{1} + \frac{4 !}{2 ! ( 4 - 2 ) !} \cdot 1^{2} (\frac{2 i}{n})^{2} + \frac{4 !}{3 ! ( 4 - 3 ) !} \cdot 1^{1} (\frac{2 i}{n})^{3} + \frac{4 !}{4 ! ( 4 - 4 ) !} \cdot 1^{0} (\frac{2 i}{n})^{4}

化简

\frac{4 !}{0 ! ( 4 - 0 ) !} \cdot 1^{4} (\frac{2 i}{n})^{0} : 1

化简

\frac{4 !}{1 ! ( 4 - 1 ) !} \cdot 1^{3} (\frac{2 i}{n})^{1} : \frac{8 i}{n}

化简

\frac{4 !}{2 ! ( 4 - 2 ) !} \cdot 1^{2} (\frac{2 i}{n})^{2} : \frac{24 i ^{2}}{n ^{2}}

化简

\frac{4 !}{3 ! ( 4 - 3 ) !} \cdot 1^{1} (\frac{2 i}{n})^{3} : \frac{32 i ^{3}}{n ^{3}}

化简

\frac{4 !}{4 ! ( 4 - 4 ) !} \cdot 1^{0} (\frac{2 i}{n})^{4} : \frac{16 i ^{4}}{n ^{4}}

= 1 + \frac{8 i}{n} + \frac{24 i ^{2}}{n ^{2}} + \frac{32 i ^{3}}{n ^{3}} + \frac{16 i ^{4}}{n ^{4}}

化简

1 + \frac{8 i}{n} + \frac{24 i ^{2}}{n ^{2}} + \frac{32 i ^{3}}{n ^{3}} + \frac{16 i ^{4}}{n ^{4}} : \frac{n ^{4} - 24 n ^{2} + 16}{n ^{4}} + \frac{8 ( n + 2 ) ( n - 2 )}{n ^{3}} i

= \frac{n ^{4} - 24 n ^{2} + 16}{n ^{4}} + \frac{8 ( n + 2 ) ( n - 2 )}{n ^{3}} i

流行的例子

e x p an d A (2, - 5)

展开 x^2e^x-2(e^xx-e^x)+C

e x p an d x^{2} e^{x} - 2 (e^{x} x - e^{x}) + C

展开 (p+1/p)^5

e x p an d (p + \frac{1}{p})^{5}

展开 ((k+1)(k+2)(k+3)(k+4))/4

e x p an d \frac{( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ) ( k + 4 )}{4}

展开 (2,5)y(-1,-4)

e x p an d (2, 5) y (- 1, - 4)