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展开 (cos(θ)+isin(θ))^4

解答

展开

(cos (θ) + i sin (θ))^{4}

解答

(cos^{4} (θ) - 6 cos^{2} (θ) sin^{2} (θ) + sin^{4} (θ)) + (4 cos^{3} (θ) sin (θ) - 4 sin^{3} (θ) cos (θ)) i

求解步骤

(cos (θ) + i sin (θ))^{4}

使用二项式定理:

(a + b)^{n} = i = 0 \sum n (i n) a^{(n - i)} b^{i}

a = cos (θ), b = i sin (θ)

= i = 0 \sum 4 (i 4) cos^{(4 - i)} (θ) (i sin (θ))^{i}

展开求和

= \frac{4 !}{0 ! ( 4 - 0 ) !} cos^{4} (θ) (i sin (θ))^{0} + \frac{4 !}{1 ! ( 4 - 1 ) !} cos^{3} (θ) (i sin (θ))^{1} + \frac{4 !}{2 ! ( 4 - 2 ) !} cos^{2} (θ) (i sin (θ))^{2} + \frac{4 !}{3 ! ( 4 - 3 ) !} cos^{1} (θ) (i sin (θ))^{3} + \frac{4 !}{4 ! ( 4 - 4 ) !} cos^{0} (θ) (i sin (θ))^{4}

化简

\frac{4 !}{0 ! ( 4 - 0 ) !} cos^{4} (θ) (i sin (θ))^{0} : cos^{4} (θ)

化简

\frac{4 !}{1 ! ( 4 - 1 ) !} cos^{3} (θ) (i sin (θ))^{1} : 4 i cos^{3} (θ) sin (θ)

化简

\frac{4 !}{2 ! ( 4 - 2 ) !} cos^{2} (θ) (i sin (θ))^{2} : 6 i^{2} cos^{2} (θ) sin^{2} (θ)

化简

\frac{4 !}{3 ! ( 4 - 3 ) !} cos^{1} (θ) (i sin (θ))^{3} : 4 i^{3} sin^{3} (θ) cos (θ)

化简

\frac{4 !}{4 ! ( 4 - 4 ) !} cos^{0} (θ) (i sin (θ))^{4} : i^{4} sin^{4} (θ)

= cos^{4} (θ) + 4 i cos^{3} (θ) sin (θ) + 6 i^{2} cos^{2} (θ) sin^{2} (θ) + 4 i^{3} sin^{3} (θ) cos (θ) + i^{4} sin^{4} (θ)

6 i^{2} cos^{2} (θ) sin^{2} (θ) = - 6 cos^{2} (θ) sin^{2} (θ)

4 i^{3} sin^{3} (θ) cos (θ) = - 4 i sin^{3} (θ) cos (θ)

i^{4} sin^{4} (θ) = sin^{4} (θ)

= cos^{4} (θ) + 4 i cos^{3} (θ) sin (θ) - 6 cos^{2} (θ) sin^{2} (θ) - 4 i sin^{3} (θ) cos (θ) + sin^{4} (θ)

Rewrite in standard complex form:

(cos^{4} (θ) - 6 cos^{2} (θ) sin^{2} (θ) + sin^{4} (θ)) + (4 cos^{3} (θ) sin (θ) - 4 sin^{3} (θ) cos (θ)) i

= (cos^{4} (θ) - 6 cos^{2} (θ) sin^{2} (θ) + sin^{4} (θ)) + (4 cos^{3} (θ) sin (θ) - 4 sin^{3} (θ) cos (θ)) i

流行的例子

化简 (x-1/3)(x+2/3)

s im pl i f y (x - \frac{1}{3}) (x + \frac{2}{3})

展开 ((x-4)^2)/(x-2)

e x p an d \frac{( x - 4 ) ^{2}}{x - 2}

化简 32(t-sin(t))

s im pl i f y 32 (t - sin (t))

化简 (x+3)(x-1/4)

s im pl i f y (x + 3) (x - \frac{1}{4})

化简 (sqrt(x-3)-3)(sqrt(x-3)+3)

s im pl i f y (x - 3 - 3) (x - 3 + 3)