展開する (e^tcos(t)-e^tsin(t))^2

解

展開する

(e^{t} \cdot cos (t) - e^{t} \cdot sin (t))^{2}

e^{2 t} (- sin (2 t) + 1)

解答ステップ

(e^{t} cos (t) - e^{t} sin (t))^{2}

完全平方式を適用する:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = e^{t} cos (t), b = e^{t} sin (t)

= (e^{t} cos (t))^{2} - 2 e^{t} cos (t) e^{t} sin (t) + (e^{t} sin (t))^{2}

簡素化

(e^{t} cos (t))^{2} - 2 e^{t} cos (t) e^{t} sin (t) + (e^{t} sin (t))^{2} : e^{2 t} cos^{2} (t) - 2 e^{2 t} cos (t) sin (t) + e^{2 t} sin^{2} (t)

= e^{2 t} cos^{2} (t) - 2 e^{2 t} cos (t) sin (t) + e^{2 t} sin^{2} (t)

2倍角の公式を使用:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

= cos^{2} (t) e^{2 t} + sin^{2} (t) e^{2 t} - sin (2 t) e^{2 t}

ピタゴラスの公式を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= e^{2 t} (- sin (2 t) + 1)