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展开 (e^{-x}+x/3)^{(4)}

解答

展开

(e^{- x} + \frac{x}{3})^{(4)}

解答

e^{- 4 x} + \frac{4 e ^{- 3 x} x}{3} + \frac{2 e ^{- 2 x} x ^{2}}{3} + \frac{4 e ^{- x} x ^{3}}{27} + \frac{x ^{4}}{81}

求解步骤

(e^{- x} + \frac{x}{3})^{4}

使用二项式定理:

(a + b)^{n} = i = 0 \sum n (i n) a^{(n - i)} b^{i}

a = e^{- x}, b = \frac{x}{3}

= i = 0 \sum 4 (i 4) (e^{- x})^{(4 - i)} (\frac{x}{3})^{i}

展开求和

= \frac{4 !}{0 ! ( 4 - 0 ) !} (e^{- x})^{4} (\frac{x}{3})^{0} + \frac{4 !}{1 ! ( 4 - 1 ) !} (e^{- x})^{3} (\frac{x}{3})^{1} + \frac{4 !}{2 ! ( 4 - 2 ) !} (e^{- x})^{2} (\frac{x}{3})^{2} + \frac{4 !}{3 ! ( 4 - 3 ) !} (e^{- x})^{1} (\frac{x}{3})^{3} + \frac{4 !}{4 ! ( 4 - 4 ) !} (e^{- x})^{0} (\frac{x}{3})^{4}

化简

\frac{4 !}{0 ! ( 4 - 0 ) !} (e^{- x})^{4} (\frac{x}{3})^{0} : e^{- 4 x}

化简

\frac{4 !}{1 ! ( 4 - 1 ) !} (e^{- x})^{3} (\frac{x}{3})^{1} : \frac{4 e ^{- 3 x} x}{3}

化简

\frac{4 !}{2 ! ( 4 - 2 ) !} (e^{- x})^{2} (\frac{x}{3})^{2} : \frac{2 e ^{- 2 x} x ^{2}}{3}

化简

\frac{4 !}{3 ! ( 4 - 3 ) !} (e^{- x})^{1} (\frac{x}{3})^{3} : \frac{4 e ^{- x} x ^{3}}{27}

化简

\frac{4 !}{4 ! ( 4 - 4 ) !} (e^{- x})^{0} (\frac{x}{3})^{4} : \frac{x ^{4}}{81}

= e^{- 4 x} + \frac{4 e ^{- 3 x} x}{3} + \frac{2 e ^{- 2 x} x ^{2}}{3} + \frac{4 e ^{- x} x ^{3}}{27} + \frac{x ^{4}}{81}

合并分式

\frac{4 e ^{- 3 x} x}{3} + \frac{2 e ^{- 2 x} x ^{2}}{3} : \frac{4 e ^{- 3 x} x + 2 e ^{- 2 x} x ^{2}}{3}

= e^{- 4 x} + \frac{4 e ^{- 3 x} x + 2 e ^{- 2 x} x ^{2}}{3} + \frac{4 e ^{- x} x ^{3}}{27} + \frac{x ^{4}}{81}

使用分式法则:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{4 e ^{- 3 x} x + 2 e ^{- 2 x} x ^{2}}{3} = \frac{4 e ^{- 3 x} x}{3} + \frac{2 e ^{- 2 x} x ^{2}}{3}

= e^{- 4 x} + \frac{4 e ^{- 3 x} x}{3} + \frac{2 e ^{- 2 x} x ^{2}}{3} + \frac{4 e ^{- x} x ^{3}}{27} + \frac{x ^{4}}{81}

流行的例子

展开 (x/(2-5y))4

e x p an d (\frac{x}{2 - 5 y}) 4

化简 (sqrt(x)-xsqrt(x))(sqrt(x)-1)

s im pl i f y (x - x x) (x - 1)

展开 ((Ds^2+Ps+I)*4865)/(s(s^2+497.8s+5951))

e x p an d \frac{( D s ^{2} + P s + I ) \cdot 4865}{s ( s ^{2} + 497.8 s + 5951 )}

化简 (4+xsqrt(2))^2

s im pl i f y (4 + x 2)^{2}

展开 (2x^2+x+4)/((2x^2-3)(x+2))

e x p an d \frac{2 x ^{2} + x + 4}{( 2 x ^{2} - 3 ) ( x + 2 )}