簡約 (sin(θ)+icos(θ))^3

解

簡約

(sin (θ) + i cos (θ))^{3}

(sin^{3} (θ) - 3 cos^{2} (θ) sin (θ)) + (3 cos (θ) - 4 cos^{3} (θ)) i

解答ステップ

(sin (θ) + i cos (θ))^{3}

完全立方式を適用する:

(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

(sin (θ) + i cos (θ))^{3} = sin^{3} (θ) + 3 sin^{2} (θ) i cos (θ) + 3 sin (θ) (i cos (θ))^{2} + (i cos (θ))^{3}

= sin^{3} (θ) + 3 sin^{2} (θ) i cos (θ) + 3 sin (θ) (i cos (θ))^{2} + (i cos (θ))^{3}

3 sin^{2} (θ) i cos (θ) = 3 sin^{2} (θ) cos (θ) i

3 sin (θ) (i cos (θ))^{2} = - 3 cos^{2} (θ) sin (θ)

(i cos (θ))^{3} = - cos^{3} (θ) i

= sin^{3} (θ) + 3 sin^{2} (θ) cos (θ) i - 3 cos^{2} (θ) sin (θ) - cos^{3} (θ) i

標準的な複素数形式で書き直す:

(sin^{3} (θ) - 3 cos^{2} (θ) sin (θ)) + (3 sin^{2} (θ) cos (θ) - cos^{3} (θ)) i

= (sin^{3} (θ) - 3 cos^{2} (θ) sin (θ)) + (3 sin^{2} (θ) cos (θ) - cos^{3} (θ)) i

簡素化

3 sin^{2} (θ) cos (θ) - cos^{3} (θ) : 3 cos (θ) - 4 cos^{3} (θ)

= (sin^{3} (θ) - 3 cos^{2} (θ) sin (θ)) + (3 cos (θ) - 4 cos^{3} (θ)) i