展開する (e^{zt}(t(z-i)-2))/((z-i)^3)

解

展開する

\frac{e ^{z t} ( t ( z - i ) - 2 )}{( z - i ) ^{3}}

\frac{- e ^{z t} t - 2 e ^{z t} z ^{3} + 6 e ^{z t} z + e ^{z t} z ^{4} t}{1 + z ^{6} + 3 z ^{2} + 3 z ^{4}} + i \frac{2 e ^{z t} - 6 e ^{z t} z ^{2} + 2 e ^{z t} z ^{3} t + 2 e ^{z t} z t}{1 + z ^{6} + 3 z ^{2} + 3 z ^{4}}

解答ステップ

\frac{e ^{z t} ( t ( z - i ) - 2 )}{( z - i ) ^{3}}

(z - i)^{3} = z^{3} - 3 i z^{2} - 3 z + i

= \frac{e ^{z t} ( t ( z - i ) - 2 )}{z ^{3} - 3 i z ^{2} - 3 z + i}

拡張

t (z - i) - 2 : z t - i t - 2

= \frac{e ^{z t} ( z t - i t - 2 )}{z ^{3} - 3 i z ^{2} - 3 z + i}

拡張

e^{z t} (z t - i t - 2) : e^{z t} z t - i e^{z t} t - 2 e^{z t}

= \frac{e ^{z t} z t - i e ^{z t} t - 2 e ^{z t}}{z ^{3} - 3 i z ^{2} - 3 z + i}

有理化する

\frac{e ^{z t} z t - i e ^{z t} t - 2 e ^{z t}}{z ^{3} - 3 i z ^{2} - 3 z + i} : \frac{e ^{z t} z ^{4} t - 2 e ^{z t} z ^{3} + 6 e ^{z t} z + i ( 2 e ^{z t} z ^{3} t - 6 e ^{z t} z ^{2} + 2 e ^{z t} z t + 2 e ^{z t} ) - e ^{z t} t}{z ^{6} + 3 z ^{4} + 3 z ^{2} + 1}

= \frac{e ^{z t} z ^{4} t - 2 e ^{z t} z ^{3} + 6 e ^{z t} z - e ^{z t} t + i ( 2 e ^{z t} z ^{3} t - 6 e ^{z t} z ^{2} + 2 e ^{z t} z t + 2 e ^{z t} )}{z ^{6} + 3 z ^{4} + 3 z ^{2} + 1}

標準的な複素数形式で

\frac{e ^{z t} z ^{4} t - 2 e ^{z t} z ^{3} + 6 e ^{z t} z - e ^{z t} t + i ( 2 e ^{z t} z ^{3} t - 6 e ^{z t} z ^{2} + 2 e ^{z t} z t + 2 e ^{z t} )}{z ^{6} + 3 z ^{4} + 3 z ^{2} + 1}

を書き換える:

\frac{e ^{z t} z ^{4} t - 2 e ^{z t} z ^{3} + 6 e ^{z t} z - e ^{z t} t}{z ^{6} + 3 z ^{4} + 3 z ^{2} + 1} + \frac{2 e ^{z t} z ^{3} t - 6 e ^{z t} z ^{2} + 2 e ^{z t} z t + 2 e ^{z t}}{z ^{6} + 3 z ^{4} + 3 z ^{2} + 1} i

= \frac{e ^{z t} z ^{4} t - 2 e ^{z t} z ^{3} + 6 e ^{z t} z - e ^{z t} t}{z ^{6} + 3 z ^{4} + 3 z ^{2} + 1} + \frac{2 e ^{z t} z ^{3} t - 6 e ^{z t} z ^{2} + 2 e ^{z t} z t + 2 e ^{z t}}{z ^{6} + 3 z ^{4} + 3 z ^{2} + 1} i