展開する (n^2(n+1)^2+4(n+1)^3)/4

解

展開する

\frac{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2} + 4 ( n + 1 ) ^{3}}{4}

\frac{n ^{4}}{4} + \frac{3 n ^{3}}{2} + \frac{13 n ^{2}}{4} + 3 n + 1

解答ステップ

\frac{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2} + 4 ( n + 1 ) ^{3}}{4}

(n + 1)^{2} = n^{2} + 2 n + 1

= \frac{n ^{2} ( n ^{2} + 2 n + 1 ) + 4 ( n + 1 ) ^{3}}{4}

(n + 1)^{3} = n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 1

= \frac{n ^{2} ( n ^{2} + 2 n + 1 ) + 4 ( n ^{3} + 3 n ^{2} + 3 n + 1 )}{4}

拡張

n^{2} (n^{2} + 2 n + 1) + 4 (n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 1) : n^{4} + 6 n^{3} + 13 n^{2} + 12 n + 4

= \frac{n ^{4} + 6 n ^{3} + 13 n ^{2} + 12 n + 4}{4}

分数の規則を適用する:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{n ^{4} + 6 n ^{3} + 13 n ^{2} + 12 n + 4}{4} = \frac{n ^{4}}{4} + \frac{6 n ^{3}}{4} + \frac{13 n ^{2}}{4} + \frac{12 n}{4} + \frac{4}{4}

= \frac{n ^{4}}{4} + \frac{6 n ^{3}}{4} + \frac{13 n ^{2}}{4} + \frac{12 n}{4} + \frac{4}{4}

規則を適用

\frac{a}{a} = 1

\frac{4}{4} = 1

= \frac{n ^{4}}{4} + \frac{6 n ^{3}}{4} + \frac{13 n ^{2}}{4} + \frac{12 n}{4} + 1

キャンセル

\frac{6 n ^{3}}{4} : \frac{3 n ^{3}}{2}

= \frac{n ^{4}}{4} + \frac{3 n ^{3}}{2} + \frac{13 n ^{2}}{4} + \frac{12 n}{4} + 1

数を割る:

\frac{12}{4} = 3

= \frac{n ^{4}}{4} + \frac{3 n ^{3}}{2} + \frac{13 n ^{2}}{4} + 3 n + 1