展開する (cos(2pix)+isin(2pix))^3

解

展開する

(cos (2 π x) + i sin (2 π x))^{3}

(cos^{3} (2 π x) - 3 sin^{2} (2 π x) cos (2 π x)) + i (- sin^{3} (2 π x) + 3 cos^{2} (2 π x) sin (2 π x))

解答ステップ

(cos (2 π x) + i sin (2 π x))^{3}

完全立方式を適用する:

(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

a = cos (2 π x), b = i sin (2 π x)

= cos^{3} (2 π x) + 3 cos^{2} (2 π x) i sin (2 π x) + 3 cos (2 π x) (i sin (2 π x))^{2} + (i sin (2 π x))^{3}

簡素化

cos^{3} (2 π x) + 3 cos^{2} (2 π x) i sin (2 π x) + 3 cos (2 π x) (i sin (2 π x))^{2} + (i sin (2 π x))^{3} : cos^{3} (2 π x) + 3 i cos^{2} (2 π x) sin (2 π x) - 3 sin^{2} (2 π x) cos (2 π x) - i sin^{3} (2 π x)

= cos^{3} (2 π x) + 3 i cos^{2} (2 π x) sin (2 π x) - 3 sin^{2} (2 π x) cos (2 π x) - i sin^{3} (2 π x)

標準的な複素数形式で

cos^{3} (2 π x) + 3 i cos^{2} (2 π x) sin (2 π x) - 3 sin^{2} (2 π x) cos (2 π x) - i sin^{3} (2 π x)

を書き換える:

(cos^{3} (2 π x) - 3 sin^{2} (2 π x) cos (2 π x)) + (3 cos^{2} (2 π x) sin (2 π x) - sin^{3} (2 π x)) i

= (cos^{3} (2 π x) - 3 sin^{2} (2 π x) cos (2 π x)) + (3 cos^{2} (2 π x) sin (2 π x) - sin^{3} (2 π x)) i