d/(dt)(({f}(t,y))(ye^{-at}))

解

\frac{d}{d t} ((f (t, y)) (y e^{- a t}))

\frac{d}{d t} (f (t, y)) y e^{- a t} + (e^{- a t} \frac{d y}{d t} - a e^{- a t} y) f (t, y)

解答ステップ

\frac{d}{d t} ((f (t, y)) (y e^{- a t}))

積の法則を適用:

(f \cdot g)^{'} = f^{'} \cdot g + f \cdot g^{'}

f = f (t, y), g = y e^{- a t}

= \frac{d}{d t} (f (t, y)) y e^{- a t} + \frac{d}{d t} (y e^{- a t}) f (t, y)

\frac{d}{d t} (y e^{- a t}) = e^{- a t} \frac{d y}{d t} - a e^{- a t} y

= \frac{d}{d t} (f (t, y)) y e^{- a t} + (e^{- a t} \frac{d y}{d t} - a e^{- a t} y) f (t, y)