簡約 (ln(x+yi)-ln(x-yi))/(2i)

解

簡約

\frac{ln ( x + y i ) - ln ( x - y i )}{2 i}

- \frac{i ln ( \frac{x ^{2} - y ^{2} + 2 i x y}{x ^{2} + y ^{2}} )}{2}

解答ステップ

\frac{ln ( x + y i ) - ln ( x - y i )}{2 i}

対数の規則を適用する:

lo g_{c} (a) - lo g_{c} (b) = lo g_{c} (\frac{a}{b})

ln (x + i y) - ln (x - i y) = ln (\frac{x + i y}{x - i y})

= \frac{ln ( \frac{x + y i}{x - y i} )}{2 i}

簡素化

\frac{x + y i}{x - y i} : \frac{x ^{2} - y ^{2}}{x ^{2} + y ^{2}} + i \frac{2 x y}{x ^{2} + y ^{2}}

= \frac{ln ( \frac{x ^{2} - y ^{2}}{x ^{2} + y ^{2}} + i \frac{2 x y}{x ^{2} + y ^{2}} )}{2 i}

乗じる

i \frac{2 x y}{x ^{2} + y ^{2}} : \frac{2 i x y}{x ^{2} + y ^{2}}

= \frac{ln ( \frac{x ^{2} - y ^{2}}{x ^{2} + y ^{2}} + \frac{2 i x y}{x ^{2} + y ^{2}} )}{2 i}

分数を組み合わせる

\frac{x ^{2} - y ^{2}}{x ^{2} + y ^{2}} + \frac{2 i x y}{x ^{2} + y ^{2}} : \frac{x ^{2} - y ^{2} + 2 i x y}{x ^{2} + y ^{2}}

= \frac{ln ( \frac{x ^{2} - y ^{2} + 2 x y i}{x ^{2} + y ^{2}} )}{2 i}

有理化する

\frac{ln ( \frac{x ^{2} - y ^{2} + 2 x y i}{x ^{2} + y ^{2}} )}{2 i} : - \frac{i ln ( \frac{x ^{2} + 2 i x y - y ^{2}}{x ^{2} + y ^{2}} )}{2}

= - \frac{i ln ( \frac{x ^{2} + 2 i x y - y ^{2}}{x ^{2} + y ^{2}} )}{2}

= - \frac{i ln ( \frac{x ^{2} - y ^{2} + 2 i x y}{x ^{2} + y ^{2}} )}{2}